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Exo défi: théorème de la base incomplète en dimension infinie
Bonjour à tous, 
Je vous propose un exercice que j'ai trouvé fort sympathique.
Niveau: sup/spé.
Soit E un ensemble partiellement ordonné. E est dit inductif si toute partie de E non vide et totalement ordonnée (c'est à dire une chaîne) possède un majorant. On donne le lemme suivant :
Lemme de Zorn. Tout ensemble ordonné E inductif admet un élément maximal (dans le sens où si l'on est plus grand, alors on est égal).
Soit E un
1) Montrer que
2) Montrer qu'un élément maximal de
Soit G une famille génératrice de E. En considérant
3) Montrer que E admet une base.
Comme d'habitude:
- Réponse(s) blankée(s).
- Indice(s) au fur et à mesure en foncion de l'avancement.
Bonne réflexion.
Ayoub.
Bonjour
J'aimerais que tu appelles le résultat que tu donnes
axiome de Zorn et non lemme. En effet c'est un axiome de la théorie des ensembles indépendant des autres et curieusement équivalent à l'axiome du choix et à l'axiome de Zermelo-Frenkel (existence d'un bon ordre). Il est utile de prendre conscience que l'existence d'une base en dimension infinie n'est assurée qu'en acceptant un axiome de plus dans la théorie (et historiquement ça a été difficile à faire admettre).
Je pense que c'est encyclopédique.
En effet, les livres parlent du lemme de Zorne, du principe de maximalité de Hausdorff, et le terme axiome n'est reservé qu'à l'axiome du choix.
Pourtant les 3 résultats sont équivalents
Si vous voulez, je peux toujours vous donner un nain dix, mais pas la réponse. La raison est évidente, non?
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