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1) Pourquoi les 1/n appartiennent à A(f)?

En fait c'est une utilisation du TVI...

On se place dans le cas n > 1.
Si , alors c'est gagné.

Sinon on peut supposer par symétrie ,

et alors on s'intéresse à

E est non vide car sinon on aurait f(0)<f(1) ce qui est contradictoire avec les hypothèses.

On a donc l'existence d'un k tel que et en prenant le minimum de cet ensemble.

La fonction ont des signes strictement différents en et , donc s'annule une fois. C'est gagné .

1/n appartient bien à A(f)!

2) Pour enlever tous les s différents de 1/n, il faut exhiber un contre-exemple pour chaque s.

L'idée est de construire un graphe en dents de scie :


Bon je sais pas si l'image est claire mais c'est assez dur à expliquer.

Graphiquement, on peut remarquer que la fonction f(x+s) admet un graphe qui est la translation de celui de f(x) de s vers la droite. Alors, on a l'existence d'un x tel que f(x)=f(x+s) ssi les deux courbes s'interceptent.

Donc l'idée c'est de faire des "sauts" de plus en plus grands pour ne pas toucher les précédents pics. Il est nécessaire d'alterner positif/négatif pour ne pas se retrouver bloqué par la courbe translatée.

En fait, pour s différent de 1/n, ce type de construction marche tout le temps, quitte à prendre des "dents de scie" de base de plus en plus petite.

Bon c'est un peu confus je suis désolé.

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Ok pour les 1/n.
Pour le reste, aussi, j'ai à peu près procéder comme toi. Plus simplement, on peut par exemple exhiber une solution de l'équation fonctionnelle: f(x+s)=f(x)+1.

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Qu'est-ce que garantit l'existence de solutions à f(x+s)=f(x)+1??

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A priori, rien. En fait, on en cherche une...

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ok c'est pas si évident quoi

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Oui, mais on se retrouve avec une fonction affine par morceaux. Enfin, c'est une possible mais c'est tout ce dont on a besoin.