Niveau exercices

Exos de khôlle : les fonctions

Posté par
infophile 13-12-07 à 15:20

Bonjour

J'ai pu comprendre que ça intéressait certains mathîliens qu'on poste nos exos de khôlles, bon ils ne sont pas toujours très intéressants m'enfin . Cette semaine, au menu : les fonctions.

En question de cours j'ai eu à démontrer le théorème de Heine, qui dit qu'une fonction continue de [a,b] dans R y est uniformément continue. Ensuite j'ai eu deux petits exos (de mémoire) :

Citation :
Soit $3$ \rm f$ une fonction 1-lipschitzienne de $3$ \rm [a,b]$ dans lui-même. On définit la suite $3$ \rm (x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ par $3$ \rm x_0\in [a,b]$ et la relation de récurrence $3$ \rm x_{n+1}=\frac{x_n+f(x_n)}{2}$ .

Montrer que $3$ \rm (x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ converge vers un point fixe de $3$ \rm f$ .

Citation :
Soient $3$ \rm f,g:[0,1]\to \mathbb{R}$ bornées et une fonction $3$ \rm \varphi :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ définie par $3$ \rm \varphi(x)=Sup\{f(t)+xg(t),t\in [0,1]\}$ .

Montrer que $3$ \rm \varphi$ est lipschitzienne.