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Explication succession de quantificateurs

Posté par
hbx360 15-06-21 à 07:51

Bonjour,

J'ai cette expression ∃a \epsilon R ∀x\epsilonR f(x) \geq f(a) et dans le livre il est que la succession de quantificateurs à rendu muettes les deux variables x et a.

Donc là je ne comprends pas pourquoi les deux variables sont rendu muette, sa veut dire quoi ? Quel non pas d'existence qu'on peut les enlever ?

Puis le livre explique que cela exprime seulement que f présente un minimum qui ne dépend ni de a, ni de x idem je ne comprends pas non plus. Si f n'est pas dépendante de a et x donc a et x sont inutile donc pourquoi les mettre/utiliser dans l'expression ∃a \epsilon R                                                  ∀x\epsilonR f(x) \geq f(a).

Posté par
hbx360re : Explication succession de quantificateurs 15-06-21 à 07:57

Vu que je ne peux pas modifier mon message je remet l'expression correct ∃a∈ℝ   ∀x∈ℝ f(x) ⩾ f(a)

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Explication succession de quantificateurs 15-06-21 à 08:04

Bonjour,

Citation :
pourquoi les deux variables sont rendues muettes, ça veut dire quoi ? Qu'elles n'ont pas d'existence qu'on peut les enlever ?
Ça veut dire que leur nom n'a pas d'importance.
Écrire ceci voudra dire la même chose :
b \; y \; f(y) f(b)
ou même
x \; a \; f(a) f(x)

Bizarre qu'après ton \;x \; ne soit pas précisé où est x.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Explication succession de quantificateurs 15-06-21 à 08:06

Messages croisés. j'ai vu le rajout

Posté par
Tilk_11 Moderateurre : Explication succession de quantificateurs 15-06-21 à 08:46

Bonjour hbx360,
peux-tu, s'il te plait, indiquer de façon claire le niveau dans ton profil, la mention "Autre" étant on ne peut plus vague, merci.

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q12 - Dois-je forcément indiquer mon niveau lorsque je poste un nouveau sujet ?



attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q30 - J'ai été averti ou banni, pourquoi, et que faire ?

Posté par
hbx360re : Explication succession de quantificateurs 15-06-21 à 10:58

Merci pour ta réponse.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Explication succession de quantificateurs 15-06-21 à 19:38

De rien
J'ai vu que tu indiquais dans un autre sujet que tu étais un autodidacte.
Tu pourrais donc indiquer "Reprise d'étude" comme niveau.

Posté par
ThierryPomare : Explication succession de quantificateurs 16-06-21 à 23:33

Bonsoir

Considérons ton assertion : \exists\,a\in\R,\quad\forall\,x\in\R,\,f(x)\geqslant{}f(a).

Je n'aime pas la terminologie "muette". L'on ne s'attardera pas au sens à donner à cette assertion en relation étroite avec le concept d'extremum, semble-t-il.

En revanche, dans les deux cas, tes deux variables sont, d'une façon imagée, hameçonnées au point de ne plus être libres ; l'on parle alors de scopage et de variables liées. Pour la variable a, l'on parle de scopage existentielle, alors que pour la variable x, l'on parle de scopage universel. Quant à substituer une variable liée par une autre lettre, cela demande une attention particulière afin d'éviter les dangers inhérents à cette opération.

Posté par
ThierryPomare : Explication succession de quantificateurs 16-06-21 à 23:38

Erratum :

Lire ceci : Quant à remplacer une variable liée par une autre lettre (...)

Posté par
ThierryPomare : Explication succession de quantificateurs 17-06-21 à 00:14

Supplément : dans le cas du calcul intégral (au sens où ce concept est enseigné en Terminale), l'on peut parler de variable muette, en ce sens que

\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=\int_a^bf(s)\mathrm{d}s=\int_a^bf(u)\mathrm{d}u=\int_a^bf(t)\mathrm{d}t=\cdots=\int_a^bf

Mais, même dans ce cas, il y une vision plus exacte.

Posté par
hbx360re : Explication succession de quantificateurs 17-06-21 à 08:55

Merci pour ta réponse.

Sylvieg @ 15-06-2021 à 19:38


J'ai vu que tu indiquais dans un autre sujet que tu étais un autodidacte.
Tu pourrais donc indiquer "Reprise d'étude" comme niveau.

Oui c'est une bonne idée.

Posté par
hbx360re : Explication succession de quantificateurs 17-06-21 à 09:33

Une autre question dans un autre exercice j'ai l'assertion :

Soit E={1, 2, 3 , 4, 5}

\exists\,y\in E,\quad\forall\,x\in E,\,x\leq y

J'ai mis faux parce que je pensais que \forall\,x\in E voulais dire qu'on prend toutes les valeurs de x et que si on les testes avec y toutes doivent être obligatoirement inférieurs ou égales à y donc que

1 \leq y
2 \leq y
3 \leq y
4 \leq y
5 \leq y

devait toutes être vrai pour que l'assertion soit vrai mais dans le livre il est marqué que la réponse est vrai car il y a au moins une valeur de E donc 5 qui est vrai. Donc si je comprends bien l'expression \forall\,x\in E dans l'assertion \exists\,y\in E,\quad\forall\,x\in E,\,x\leq y veut juste dire que pour que l'assertion soit vrai il suffit qu'il y est au moins une valeur de x respectant la condition \,x\leq y si par exemple je prends dans E pour y la valeur 3 il suffit de prendre comme dans E pour x la valeur 3 pour que l'assertion soit vrai.

Pourriez-vous me confirmer si ce que j'ai compris est exacte ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Explication succession de quantificateurs 17-06-21 à 09:48

Que penses-tu de cette assertion :
\quad\forall\,x\in E,\,x\leq 5 \; ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Explication succession de quantificateurs 17-06-21 à 09:50

Et de celle-ci :
\quad\forall\,x\in E,\,x\leq 3 \; ?

Posté par
hbx360re : Explication succession de quantificateurs 17-06-21 à 10:25

Je pense que la 1er est vrai car toutes les valeurs de x appartenant à E sont soit inférieurs soit égale à 5 mais que la 2e est fausse car il y a des valeurs de x appartenant à E qui sont supérieur à 3.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Explication succession de quantificateurs 17-06-21 à 15:17

D'accord.
Vois-tu mieux maintenant pourquoi celle-ci est vraie :
\exists\,y\in E,\quad\forall\,x\in E,\,x\leq y \; ?

Posté par
hbx360re : Explication succession de quantificateurs 17-06-21 à 16:13

Oui je comprends  parce que toutes les valeurs de x sont soit inférieur ou égale à au moins une valeur de y c'est bien ça ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Explication succession de quantificateurs 17-06-21 à 16:35

Oui, et "au moins une valeur de y", c'est la valeur 5.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Explication succession de quantificateurs 17-06-21 à 16:41

Je reprends l'assertion de ton 1er message :
∃a∈ℝ ∀x∈ℝ f(x) ⩾ f(a)

Elle est vraie avec \; f(x) = 3 + (x2 - 4)2
Vois-tu pourquoi ?

Posté par
hbx360re : Explication succession de quantificateurs 17-06-21 à 19:31

Parce que il y a au moins une valeur de a qui permet à f(a) d'être inférieur ou égal à f(x).
Donc on fait :

f(x) = 3 + (x^{2} - 4)^{2} et

f(a) = 3 + (a^{2} - 4)^{2} donc

si je prend a=2 et pour x=2 on a :
Pour f(x)
f(2) = 3 + (2^{2} - 4)^{2} et pour f(a)
f(2) = 3 + (2^{2} - 4)^{2}
Soit :

3 + (2^{2} - 4)^{2} = 3 + (2^{2} - 4)^{2}
Ce qui donne 3 \geq 3
C'est bien ça ?




Posté par
Sylvieg Moderateurre : Explication succession de quantificateurs 17-06-21 à 21:21

Ne mélange pas a et x.
f(2) = 3 d'une part.
D'autre part, pour tout x de on a f(x) 3.
D'où :
Pour tout x de f(x) f(2).
Il existe donc un réel a tel que pour tout x réel, on a f(x) f(a).

Remarque : il existe plusieurs réels a.
Autrement dit, le réel 2 n'est pas le seul réel a qui vérifie ceci :
∀x∈ℝ f(x) ⩾ f(a)

Posté par
hbx360re : Explication succession de quantificateurs 17-06-21 à 22:43

D'accord merci pour tes explications, mais f(2) = 3 on est d'accord que  2 = a et que f(a) = 3 + (2^{a} - 4)^{2}  ce qui nous permet d'obtenir 3 ?

Posté par
hbx360re : Explication succession de quantificateurs 18-06-21 à 06:15

Je réctifie c'est f(a)=3+(a2-4)2

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Explication succession de quantificateurs 18-06-21 à 07:48

Oui, on est d'accord
J'ai voulu te montrer un exemple d'assertion avec le symbole , où il n'y a pas unicité.

Avec \; f(x) = 3 + (x2 - 4)2 , ceci est vrai pour a = 2 et aussi pour a = -2 :
x f(x) f(a)

Posté par
hbx360re : Explication succession de quantificateurs 18-06-21 à 13:11

D'accord merci pour t'as réponse quand tu dis où il n'y a pas d'unicité tu veux dire qu'il y a plusieurs solution s'il y avait unicité il y aurai une  solution ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Explication succession de quantificateurs 18-06-21 à 13:42

Le mot "solution" est en général réservé aux équations et inéquations.
Sinon, oui, c'est ça.

Citation :
merci pour ta réponse
De rien

Posté par
hbx360re : Explication succession de quantificateurs 19-06-21 à 10:24

Est-ce que \exists\,y\in E et \forall\,x\in E peuvent être interchangeable, si je met \exists\,y\in E en 2eme est-ce que ça change la réponse ?

Posté par
hbx360re : Explication succession de quantificateurs 19-06-21 à 11:34

Dans cette exercice :

E = {1, 2, 3, 4, 5}

\forall\,y\in E  \forall\,x\in E  x\leq y \

La réponse est faux, l'explication donnée est la suivante :
L'élément y = 1 de E ne vérifie pas \forall\,x\in E  x\leq y \

J'aurai pensé que c'était vrai puisque si x = 1 1 est bien un élément de E non ? et donc   y = 1 alors 1 \leq 1

Ou bien faut-il voir les choses comme ça :
x = 1 et y = 1 alors x \leq y
x = 1 et y = 2 alors x \leq y etc

puis

x = 2 et y = 1 alors   x \leq y et donc là c'est faux donc la réponse est fausse.
Est-ce que se serai cette démarche à suivre pour réussir à trouver si l'assertion est vrai ou fausse ? Parce que sinon comme ça \forall\,y\in E  \forall\,x\in E  x\leq y \ c'est pas si évident que ça à comprendre.

Posté par
heklare : Explication succession de quantificateurs 19-06-21 à 13:57

Bonjour
principe du tiers-exclu

ou bien la proposition est vraie  ou bien elle est fausse  

il est parfois plus facile de montrer que la négation de la proposition est vraie

c'est ce que vous avez fait en montrant qu'il existe un y et qu'il existe un x pour lesquels la proposition x\leqslant y est fausse

On dit alors que l'on exhibe un contre-exemple.

La négation de la proposition est \exists \,y\in E,\ \exists\, x\in E, \  x\not\leqslant y \\

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Explication succession de quantificateurs 19-06-21 à 14:21

Je réponds d'abord à

hbx360 @ 19-06-2021 à 10:24

Est-ce que \exists\,y\in E et \forall\,x\in E peuvent être interchangeable, si je met \exists\,y\in E en 2eme est-ce que ça change la réponse ?
Non.

Voici deux assertions avec échange :
1) a, x, \; x < a

2) x, a, \; x < a

L'une des deux est vraie, l'autre est fausse.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Explication succession de quantificateurs 19-06-21 à 14:24

Bonjour hekla
Tu peux prendre la suite.
Je n'ai pas un matériel pratique en ce moment.

Posté par
hbx360re : Explication succession de quantificateurs 19-06-21 à 14:43

Merci pour vos réponses. Je pense avoir compris.

Posté par
heklare : Explication succession de quantificateurs 19-06-21 à 14:59

S'il y a encore des doutes, il ne faut pas hésiter à venir les lever

De rien

Posté par
hbx360re : Explication succession de quantificateurs 19-06-21 à 16:03

D'accord merci.

Posté par
carpediemre : Explication succession de quantificateurs 19-06-21 à 19:30

salut

pour pousser un peu la réflexion et la compréhension :

quels sont les ensembles E tels que : \forall x \in E  :  \forall y \in E  :  x \le y  ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Explication succession de quantificateurs 20-06-21 à 07:49

Bonjour carpediem,
Ta question est posée avec E inclus dans ?

Posté par
carpediemre : Explication succession de quantificateurs 20-06-21 à 08:20

on peut considérer la question dans R ou dans tout ensemble totalement ordonné  quelconque dont on extrait un ensemble E vérifiant ce qui précède ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Explication succession de quantificateurs 20-06-21 à 11:01

D'accord


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