Niveau exercices

Exponentiation d'irrationnels

Posté par
myself 14-08-09 à 15:33

Bonjour,

voici un exercice tiré d'un bouquin, mais que j'ai trouvé joli :

Existe-t-il $a,b \quad \in \quad (\mathbb{R-Q})^2$ tels que :
$a^b \quad \in \quad \mathbb{Q}$

Posté par re : Exponentiation d'irrationnels 14-08-09 à 18:24

Bonjour,

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Posté par re : Exponentiation d'irrationnels 14-08-09 à 19:30

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Posté par re : Exponentiation d'irrationnels 14-08-09 à 21:25

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Posté par re : Exponentiation d'irrationnels 14-08-09 à 22:09

touché

c'est marrant, je n'avais jamais pensé à cette solution...

Posté par re : Exponentiation d'irrationnels 15-08-09 à 01:22

D'ailleurs bien plus fort que la question initiale car on exhibe deux nombres transcendants dont la puissance est entière . L'avantage de la solution "classique" avec $\sqrt{2}$ est quelle n'utilise que des résultats élémentaires .

Imod

Posté par re : Exponentiation d'irrationnels 15-08-09 à 09:57

Bonjour.
Il semble que la solution soit la généralité des cas.
Soit a un nombre rationnel et u un nombre irrationnel :
^ua est généralement irrationnel.
log(a)/log(u) est généralement irrationnel.
Encore faut-il le démontrer rigoureusement.