Bonsoir pappus,
Je manque de temps ce soir. À défaut de mieux, un lien pour déblayer le terrain :
Amitiés.

Mon cher Kohle
Merci pour ta figure qu'il faut maintenant interpréter.
Je suis encore trop nouveau pour juger correctement de la qualification des exercices que je propose selon les règles de ce forum.
Quand les points et sont quelconques, pas forcément symétriques par rapport au diamètre , on tombe sur le problème d'AlHazen en général dont la solution est hors de portée des élèves de Terminales et même de nos taupins puisque les points du cercle où les extrema de sont atteints sont à l'intersection de   avec une certaine hyperbole équilatère.
Dans le cas particulier que j'envisage où les points   et sont symétriques par rapport au diamètre , cette hyperbole équilatère se décompose en deux droites orthogonales dont les intersections avec le cercle sont en principe à la portée de nos élèves du Secondaire.
La mise en équation de ce problème me parait assez facile.
Par contre l'interprétation géométrique des résultats obtenus par l'analyse est sans doute un peu délicate pour un élève de Terminales.
Amitiés
pappus

Mon cher Kohle
J'ai fait par curiosité (pour voir si j'étais capable de la faire) la même figure que toi.
Quand je parle de discussion, j'entends l'étude de la forme de cette courbe rouge suivant la position de dans le cercle .
Amitiés
pappus

Bonjour à tous
Par exemple quand est suffisamment proche de   .
Amicalement
pappus

Bonjour pappus,
Je suis en train d'examiner les ellipses de foyers et tangentes au cercle .
Je ne sais pas si je suis sur la bonne voie ...
Amitiés.

Mon cher Kohle
Tu es sur la bonne voie
Amitiés
pappus

Plus précisément je cherche les points du cercle pour lesquels la bissectrice de passe par

Mon cher Kohle
Tu as trouvé ce qu'il faut faire.
Je te conseille d'identifier le plan euclidien au plan complexe   muni de sa structure euclidienne usuelle en sorte que le cercle devienne le cercle-unité c'est-à-dire le cercle trigonométrique.
Amitiés
pappus

Cher pappus,

Bonjour,

Si on prend O pour origine du plan complexe. On prend un cercle de rayon 1 sans perte de généralité. Et je tourne de 90° la figure de sorte à ce que les affixes de A et B soient conjugués.

Alors j'arrive avec un peu de trigo à :


Avec :
x=cos(t) (t est "l'argument de M"), variable sur laquelle se porte l'étude
y=cos(t')  (t' et -t' sont "les arguments de A et B")
r = OA = OB
C = 2r/(1+r²) (toujours inférieur à 1)

(sauf erreur de calcul)

Ce qui est rassurant est que je retrouve bien que lorsque A et B sont sur l'axe des imaginaires (donc lorsque y=0) alors la fonction est maximale lorsque |x|=1 (t = 0 ou pi) et minimale lorsque x=0 (t = pi/2 ou 3pi/2). C'est conforme à l'intuition dans ce cas particulier.

Je n'ai pas cherché à aller plus loin mais il semble que trouver les points d'annulation de la dérivée de cette fonction revienne à étudier une fonction polynomiale de degrés 2.

Bonsoir thelapinch27,
Nous sommes devant un problème de géométrie.
Bien sûr, les calculs sont souvent nécessaires.
Mais en toutes circonstances, ils doivent donner lieu à une interprétation :
Autrement dit, soit une construction (règle et compas), soit si ce n'est pas possible, une construction logicielle faisant intervenir les intersections de deux quadriques (par exemple).

Mon cher Khole
Voici ta figure ci-dessous.
est le point symétrique de par rapport à la tangente en au cercle .
En utilisant les complexes de la façon que je t'ai indiquée, tu dois écrire que les points , ,   sont alignés et tant qu'à faire, tu peux supposer que les points , sont en position générale, les calculs ne sont pas plus compliqués, la seule difficulté étant leur interprétation géométrique.
Amitiés
pappus

Bonne nuit,
J'ai finalement suivi tes conseils et abouti,(dans le cas où et sont symétriques ar rapport à ) à l'équation très simple :



qui donne entre autres
Cette dernière partie imaginaire devant être comprise entre et , l'ellipse de foyers et tangente au cercle (autre que celles tangentes en et ) n'existe que si et sont à l'extérieur des cercles de diamètres et :

Amitiés.

J'ai oublié de préciser qu'en construisant les inverses de et par rapport au cercle , on obtenait la droite des points de contact.

Mon cher Kohle
Tu m'épateras toujours.
Bravissimo!
Tout est exact, en particulier ta dernière remarque qui a une explication géométrique très simple.
Indication:
Si tu prends deux points et   inverses par rapport à un cercle , ce cercle est le lieu des points   tels que le rapport reste constant.
Amitiés
pappus

Bonjour pappus,
Une nouvelle figure :

Les points et sont les intersections de et avec le cercle
Avec  ton indice, est la bissectrice  de et celle de  
Pour la suite, sans rentrer dans les détails, on peut regarder la figure et les angles codifiés ainsi que les triangles isocèles et .
Au final on prouve que est la bissectrice de   donc la normale en à l'ellipse de foyer   et .

Je trouve ce problème superbe : hop, dans mes favoris.
Merci pappus
Amitiés.

Pour la petite histoire, bien que je les aie cru faux, mes calculs cartésiens étaient parfaitement corrects. Voilà ce qui s'est passé :
Je suis donc parti du cercle trigonométrique avec ainsi que et
Sans surprise je suis tombé sur l'équation qui correspond aux points de contact et .
Mais aussi sur une équation du second degré (hum bizarre...) en :

et ses solutions :
et (encore plus bizarre et même farfelu : je me suis planté ...)
Bref j'ai jeté le bébé avec l'eau du bain (je viens de récupérer mes brouillons dans la poubelle).

La solution correspond aux deux points d'intersection de la droite et du cercle .
Pour ces deux points parasites on a bien !

Une erreur :

Mon cher Kohle
Autrefois dans une autre époque, dans un autre siècle, on savait que pour tout , on avait:
et où est le rayon du cercle
Si on  note , on a:

Si la droite coupe le cercle en et , on a:

Ainsi le point   (et aussi le point  ) réalise le minimum absolu de   sur  .
Amitiés
pappus
PS
Tout ceci mérite une rédaction détaillée.
Tu peux aussi reprendre tes calculs dans le cas où les points   et   sont quelconques sans être forcément symétriques par rapport au diamètre  
Les calculs ne sont pas plus compliqués, seule leur interprétation géométrique reste délicate.

Merci pappus.
Ta solution est beaucoup plus propre que mon petit trafic avec les angles ...
Je vais refaire les calculs avec les points et quelconques mais laisse moi souffler un peu ...
De toute manière on doit tomber sur une équation en complexes d'une hyperbole que je serai bien incapable d'interpréter.
Amitiés.

J'ai persévéré avec l' équation :


Après quelques calculs supplémentaires, GeoGebra a travaillé à ma place. Un cas de figure (dynamique s'il vous plaît) où il existe 4 ellipses de foyers et tangentes au cercle

Bon, j'arrête là : j'ai atteint clairement mon niveau d'incompétence.
Amitiés

Tout de même quelques conjectures :
- L'hyperbole est équilatère (ses asymptotes sont parallèles aux axes des ellipses).
-Elle passe par centre du cercle
Pour la déterminer complètement, il faudrait construire son centre.
Pour l'instant pas la moindre conjecture ...

Mon cher Kohle
Je reste sans voix!
C'est encore exact!
Bravissimo!
Du point de vue calculatoire, tu n'as rien à envier à personne!
Les calculs sont pratiquement terminés et bien terminés.
La géométrie commence!
Il faut montrer que cette courbe est bien une hyperbole équilatère et en exhiber suffisamment de points pour pouvoir la tracer facilement avec Geogebra quoique je pense qu'il suffit de lui donner l'équation pour qu'il la trace.
Pour ce faire quelques calculs supplémentaires sont nécessaires.
Grosso modo, trois points à distance finie situés sur l'hyperbole sont évidents ainsi que ses deux points à l'infini. Le centre aussi se laisse trouver sans beaucoup de résistance.
Dans tes figures, il n'est pas nécessaire de tracer les ellipses qui font perdre de la lisibilité.
Amitiés
pappus
PS
C'est en retrouvant dans mes archives une figure de Poulbot que j'ai pensé à proposer ce problème.

Bonjour,
Je rectifie une ânerie que j'ai racontée hier :

Mon cher Kohle
Tu as l'équation de la conique sous les yeux puisque tu l'as trouvée.
Elle te permet de trouver parmi tous les points que tu as déjà tracés ceux au nombre de trois qui sont situés sur cette conique, ensuite de trouver ses points à l'infini et d'en déduire que c'est une hyperbole équilatère et enfin de déterminer son centre.
Tu peux même si tu es en grande forme trouver les paires de points pour lesquels cette conique se décompose en deux droites orthogonales.
Le cas particulier que j'ai étudié est un de ces cas de décomposition mais il y en a d'autres.
Amitiés
pappus

Bonjour pappus,
J'avais plus ou moins abandonné l'équation complexe de l'hyperbole.
Quelle erreur !
il y a donc
Autrement dit les inverses de et par rapport au cercle
et aussi leur somme en sorte qu'on obtient un joli parallélogramme :

Pour la suite je ne sais pas trop en quoi consiste le "trouver les points à l'infini" .
Pour me retrouver en pays connu, j'étais passé aux cartésiennes pour obtenir une équation du type :


qui est bien l'équation d'une hyperbole équilatère.
Amitiés.
PS : J'appréciais beaucoup Poulbot et pas seulement pour ses compétences remarquables en Géométrie.

Mon cher Kohle
Je vois que sur ta dernière figure, tu as tout trouvé.
Tu n'as pas besoin de revenir aux coordonnées cartésiennes et tu peux rester dans les coordonnées qu'on appelle les coordonnées isotropes.
L'annulation des termes homogènes de degré 2 te donne les directions asymptotiques:

Je te laisse le soin de conclure.
Amitiés
pappus

Bonsoir pappus et merci,
Je venais d'entresurperposer ce que tu me dis ici :

Citation :
L'annulation des termes homogènes de degré 2 te donne les directions asymptotiques :

Bonne nuit,
Pour que l'hyperbole dégénère en deux droites orthogonales il suffit d'écrire que son centre d'affixe lui appartient.
Après quelques calculs, on obtient :



Soit qui correspond au cas particulier du début de ce fil.

Soit réel : alignés.

Mon cher Kohle
Tout ce que je peux dire, c'est bravo!
Donc l'autre cas élémentaire que je n'ai pas traité, c'est celui où les points ,  , sont alignés.
Fais la figure avec les points et   situés à l'intérieur d'un diamètre   et résous le problème dans ce cas particulier.
Amitiés
pappus

Bonjour pappus,
Je me limite à une figure où on peut construire le point :
- et sont les inverses de et par rapport au cercle
-   est le milieu de
- est le symétrique de par rapport à


Pour que cette ellipse tangente existe, il faudrait discuter de la position relative de et sur le segment . La chose me semble "délicate".
Encore merci pour ce problème superbe et ton accompagnement.
Amitiés.

Mince, une erreur :

est le milieu de