Bonjour tout le monde.
Je suis en train de préparer le leçon sur la recherche d'extremum et je rencontre quelques difficultés.
J'ai le Théorème suivant: Si f est continue sur I, dérivable sur l'intérieur de I privé de a et si f' s'annule en a (appartenant à l'intérieur de I) alors f admet un extremum local.
Ma question est la suivante: on suppose que f est dérivable sur l'intérieur de I privé de a et après on dit que f' s'annule en a.
On a donc que f est dérivable en a non?
Ensuite j'ai le théorème suivant:
Si f est dérivable sur I et f admet une dérivée seconde en a (appartenant à l'intérieur de I) et f'(a)=O et f''(a)0 alors f admet un extremum locale en a.
Que faut-il que je rajoute à ce théorème pour que f admette un extremum globale en a?
Merci d'avance.
Bonjour !
Je ne comprend pas le 1er théorème tu dis que f n'est pas dérivable en a mais que f' s'annule en a.
Tu veux parler de la limite, par exemple sin(x)/x n'est pas dérivable en 0, mais la limite de sa dérivée tend vers 0.
Pour le 2ème théorème, si f" est positive f(a) est minimum et si f" négative f(a) est maximum sur I.
Si f" change de signe, tu es obligé de tester tout les f'(0)...(tu peux en éliminer selon le signe de f").
MV
C'est bien là mon problème pour le 1er théorème! Donc tu confirmes ce que je pensais: il y a une erreur!
Pour le 2ième théorème je suis ok.
Mais en fait dans me leçon je n'ai énoncé que des théorèmes pour trouver des extremums locaux.
Je n'en ai pas pour la recherche d'extremum globaux et c'est ça mon problème!
Mon petit théorème
Si f est dérivable sur I, f'(a)=0 et f">( < )0 sur I alors f(a) est le minimum (maximum) de f sur I.
Après, je pense qu'il fait voir du coté des intégrales de f' sur [b;a] et sur [a;c] (on montre qu'elles sont positives ou négative pour tout b et c).
Mais je n'ai pas encore vu les intégrale (je suis en term) donc je ne suis pas sûr.
Pour le 1, je pense qu'il y a une erreur.
MV
ca fait très bizarre de se faire aider par un terminal!lol!
Sinon pour ton théorème, tu doit plutot dire que f est 2 fois dérivable sur I, sinon on ne peut pas parler de la dérivée seconde.
Oui mais comme c'est dit dans ton 2ème théorème je complète.
Sinon je pense que vous faites des trucs bien plus dur non ?
Sinon, je ne vois pas comment modifier ton théorème...si elle
est continue mais pas dérivable, il y a un point de rebroussement
ou un nombre dérivée infini ?...
Après je vois pas trop ce qu'on peut dire.
On fait surtout des trucs qui servent pas grand chose pour enseigner!
On fait des maths assez poussés surtout en licence.
Pour mon 2ième theorème, je le laisse tel quel pour l'instant.
Je verrais plus tard pour trouver une condition pour un extremum global!
Bonjour,
Oups, je n'avais pas fini de poster !
Je reprends :
oui donc tout le monde est ok, ce théorème est faux!!!
Concernant le théorème que tu me donnes boby, il est aussi valable si on suppose que f est seuleument derivable au voisinage de a non?
Ensuite pour mon 2ième théorème pour avoir une condition suffisante globale, j'ai trouvé ça:
Si f est 2 fois dérivable sur et f'(a)=O.
Si f''(x)>0 pour tout x de I, alors f admet un min globale en a
Si f''(x)<0 pour tout x de I, alors f admet un max globale en a
C'est correct?
Bonjour,
Les dérivées ne servent pas à grand chose dans les théorèmes d'existence et d'unicité (je trouve). Les deux théorèmes que je trouve important sont :
1) existence
sur un intervalle fermé borné : f continue
ou sur R (minimum) : f tend vers en .
2) unicité
sur I ou R (minimum) : stricte convexité (qui revient quand la fonction est 2 fois dérivable à f'' > 0)
pour l'existence j'avais le premier théorème. Le 2ième est intéressant.
Pour l'unicité, j'avais lu ce théorème quelque part mais je ne l'avais pas mis dans me leçon parce que cela faisait introduire la notion de convexité et j'ai pas vraiment envie que le jury du CAPES commence à me poser des questions dessus!
d'ailleur pour l'existence d'un maximum, on a aussi f tend vers - en non?
En tout cas, bien pratique ces théorèmes! merci de les avoir rappeler tringlarido!
Oui pour l'existence d'un maximum.
Par exemple ce théorème permet de démontrer que si on se donne n points de R et des réels positifs on peut minimiser la fonction définie sur R :
(une étude plus poussée nous permet de trouver ce min). Par contre on a généralement pas d'unicité.
Cet exemple se généralise dans le plan et avec n'importe quelle norme (et éventuellement un nombre infini de points).
la fin devient trop compliquée pour moi!
Je trouve quand même cette leçon très théorique par rapport à ce qu'on en fait dans la pratique.
Quand on a une fontion à étudier, on se contente de calculer la dérivée et cela nous permet de trouver les extremums!
J'en profite pour poser une autre question. Quels sont les applications possibles pour cette leçon?
J'ai un exercice d'optimisation d'aire. Après je voulais mettre une fontion où on étudie les extremums mais comme cela se limite à une étude de fontion, je ne trouve pas cela top!
C'est faux. Mon exemple élémentaire n'est pas dérivable et tu ne peux pas conclure grâce à ton théorème.
La connaissance de la dérivée ne te permet pas de déduire l'existence d'estrema. D'autre part, le calcul d'une dérivée peut-être une chose très pénible et le fait de la connaître n'est pas forcément instructif. De plus dans la pratique on ne peut pas calculer les zéros de la dérivée (ne serait-ce qu'un polynôme de degré 6).
Si je te donne la fonction :
comment prouves-tu l'existence d'un minimum ?
Bonsoir,
Théorème :
Soit un intervalle de , et continue sur . Si est dérivable sur \ {}, et si, pour tout \ {}, on a (resp. ) alors admet un minimum global en (resp. maximum global en ) |
ah oui exact... dans ma tête je me limiter aux fonctions polynomes...!
Pour boby, ce théorème aussi je l'avais mais j'avais du faire un choix au niveau des théorèmes à placer et j'avais laisser de coté celui là!
Mais finalement je vais le reprendre. Tu m'as fait changer d'avis!
par contre la démonstration est-elle facile? à vue d'oeil, il faut utiliser le "TAF" non?
Pour l'exemple, on peut prendre x qui admet un minimum global en 0 alors qu'elle n'est pas dérivable en 0. non?
Dans ton profil, j'ai vu que tu avais mis capes. Tu le passes cet année?
Re-bonsoir,
Félicitations! (avec un peu de retard!)
Pour la démonstration du théorème, je tenterais de la faire demain parce que là, je suis trop fatigué pour m'attaquer à une démonstration!
Si je trouve, je la posterais ici sinon, je demanderais de l'aide!
Par cotnre je réitère ma question. Pour le théorème que tu m'as donné hier à 21h03, on a juste besoin de supposer que f est dérivable sur un voisinage de a et non sur I tout entier non?
Juste pour dire que c'est ok pour la démonstration du théorème!
Avec le théorème des accroissements finis cela marchait très bien!
Encore merci pour ton aide!
salut
le maximum d'une fonction est un maximum local qui est ... plus grand que tous les éventuels autres !!
sinon 2 exemples en statistiques:
soit (x_1,n_1),...(x_p,n_p) une série statistique avec n_1+n_2+...+n_p=N
alors la moyenne m est le nombre qui minimise la fonction xn_i(x_i-x)²
et tout nombre qui minimise la fonction xn_i|x_i-x| est une médiane
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :