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extremum local et global

Posté par
mouss33
16-11-08 à 13:36

Bonjour tout le monde.

Je suis en train de préparer le leçon sur la recherche d'extremum et je rencontre quelques difficultés.

J'ai le Théorème suivant: Si f est continue sur I, dérivable sur l'intérieur de I privé de a et si f' s'annule en a (appartenant à l'intérieur de I) alors f admet un extremum local.

Ma question est la suivante: on suppose que f est dérivable sur l'intérieur de I privé de a et après on dit que f' s'annule en a.

On a donc que f est dérivable en a non?

Ensuite j'ai le théorème suivant:

Si f est dérivable sur I et f admet une dérivée seconde en a (appartenant à l'intérieur de I) et f'(a)=O et f''(a)0 alors f admet un extremum locale en a.

Que faut-il que je rajoute à ce théorème pour que f admette un extremum globale en a?

Merci d'avance.

Posté par
mouss33
re : extremum local et global 16-11-08 à 13:44

j'ai oublié de préciser: je travaille avec des fontions d'une variable réelle.

Posté par
matovitch
re : extremum local et global 16-11-08 à 15:14

Bonjour !

Je ne comprend pas le 1er théorème tu dis que f n'est pas dérivable en a mais que f' s'annule en a.

Tu veux parler de la limite, par exemple sin(x)/x  n'est pas dérivable en 0, mais la limite de sa dérivée tend vers 0.

Pour le 2ème théorème, si f" est positive f(a) est minimum et si f" négative f(a) est maximum sur I.

Si f" change de signe, tu es obligé de tester tout les f'(0)...(tu peux en éliminer selon le signe de f").

MV

Posté par
mouss33
re : extremum local et global 16-11-08 à 15:21

C'est bien là mon problème pour le 1er théorème! Donc tu confirmes ce que je pensais: il y a une erreur!

Pour le 2ième théorème je suis ok.

Mais en fait dans me leçon je n'ai énoncé que des théorèmes pour trouver des extremums locaux.

Je n'en ai pas pour la recherche d'extremum globaux et c'est ça mon problème!

Posté par
matovitch
re : extremum local et global 16-11-08 à 17:05

Mon petit théorème
Si f est dérivable sur I, f'(a)=0 et f">( < )0 sur I alors f(a) est le minimum (maximum) de f sur I.

Après, je pense qu'il fait voir du coté des intégrales de f' sur [b;a] et sur [a;c] (on montre qu'elles sont positives ou négative pour tout b et c).
Mais je n'ai pas encore vu les intégrale (je suis en term) donc je ne suis pas sûr.

Pour le 1, je pense qu'il y a une erreur.

MV

Posté par
mouss33
re : extremum local et global 16-11-08 à 17:17

ca fait très bizarre de se faire aider par un terminal!lol!

Sinon pour ton théorème, tu doit plutot dire que f est 2 fois dérivable sur I, sinon on ne peut pas parler de la dérivée seconde.

Posté par
matovitch
re : extremum local et global 16-11-08 à 17:32

Oui mais comme c'est dit dans ton 2ème théorème je complète.
Sinon je pense que vous faites des trucs bien plus dur non ?

Sinon, je ne vois pas comment modifier ton théorème...si elle
est continue mais pas dérivable, il y a un point de rebroussement
ou un nombre dérivée infini ?...
Après je vois pas trop ce qu'on peut dire.

Posté par
mouss33
re : extremum local et global 16-11-08 à 17:54

On fait surtout des trucs qui servent pas grand chose pour enseigner!

On fait des maths assez poussés surtout en licence.

Pour mon 2ième theorème, je le laisse tel quel pour l'instant.

Je verrais plus tard pour trouver une condition pour un extremum global!

Posté par
boby6
re : extremum local et global 16-11-08 à 20:45

Bonjour,

Citation :
Ma question est la suivante: on suppose que f est dérivable sur l'intérieur de I privé de a et après on dit que f' s'annule en a.

On a donc que f est dérivable en a non?


C'est la supposition qui est fausse : f est dérivable sur l'intérieur de I, mais a doit appartenir à cet intérieur (la fonction f doit donc être dérivable en a !)
On ne peut parler de f'(a) si f n'est pas dérivable en a!

Mais le plus grave n'est pas là !!! Le plus grave c'est que ton Théorème 1 est FAUX !
La

Posté par
boby6
re : extremum local et global 16-11-08 à 21:03

Oups, je n'avais pas fini de poster !
Je reprends :

Citation :
J'ai le Théorème suivant: Si f est continue sur I, dérivable sur l'intérieur de I privé de a et si f' s'annule en a (appartenant à l'intérieur de I) alors f admet un extremum local.


Je disais donc que ce théorème est faux.
Exemple :
On considère la fonction f : x \rightar x^3 en 0
On a f'(x)=3x^2 et f'(0)=0
Pourtant, cette fonction n'admet pas d'extremum en 0 !

La condition de nullité de la dérivée n'est pas suffisante (c'est une condition nécessaire)
Je te propose alors une condition suffisante :

Théorème :

Soit I un intervalle de \mathbb{R}, a \in {I}\limits^o et f : I \rightar \mathbb{R} dérivable sur {I}\limits^o.
Si f'(a)=0 et si f' change de signe en a, alors f admet un extremum local en a.

Tu peux ensuite mettre le beau théorème de Matovitch en corollaire.

Si tu as besoin d'aide pour une condition suffisante globale (ton théorème 2), n'hésite pas à redemander (il faut effectivement rajouter quelque chose à ton théorème !)

Posté par
mouss33
re : extremum local et global 17-11-08 à 14:49

oui donc tout le monde est ok, ce théorème est faux!!!

Concernant le théorème que tu me donnes boby, il est aussi valable si on suppose que f est seuleument derivable au voisinage de a\in {I}\limits^o non?

Ensuite pour mon 2ième théorème pour avoir une condition suffisante globale, j'ai trouvé ça:

Si f est 2 fois dérivable sur {I}\limits^o  et f'(a)=O.
Si f''(x)>0 pour tout x de I, alors f admet un min globale en a
Si f''(x)<0 pour tout x de I, alors f admet un max globale en a

C'est correct?

Posté par
tringlarido
re : extremum local et global 17-11-08 à 18:35

Bonjour,

Les dérivées ne servent pas à grand chose dans les théorèmes d'existence et d'unicité (je trouve). Les deux théorèmes que je trouve important sont :

1) existence
  sur un intervalle fermé borné : f continue
  ou sur R (minimum) : f tend vers + \infty en \pm \infty .

2) unicité
  sur I ou R (minimum) : stricte convexité (qui revient quand la fonction est 2 fois dérivable à f'' > 0)

Posté par
mouss33
re : extremum local et global 17-11-08 à 20:07

pour l'existence j'avais le premier théorème. Le 2ième est intéressant.

Pour l'unicité, j'avais lu ce théorème quelque part mais je ne l'avais pas mis dans me leçon parce que cela faisait introduire la notion de convexité et j'ai pas vraiment envie que le jury du CAPES commence à me poser des questions dessus!

Posté par
mouss33
re : extremum local et global 17-11-08 à 20:10

d'ailleur pour l'existence d'un maximum, on a aussi f tend vers - en \pm\infty  non?

En tout cas, bien pratique ces théorèmes! merci de les avoir rappeler tringlarido!

Posté par
tringlarido
re : extremum local et global 17-11-08 à 20:15

Oui pour l'existence d'un maximum.

Par exemple ce théorème permet de démontrer que si on se donne  x_1,\ldots,x_n n points de R et  a_1, \ldots, a_n des réels positifs on peut minimiser la fonction définie sur R :


 \\ f(x) = \bigsum_{i=1}^n a_i |x_i - x|
 \\

(une étude plus poussée nous permet de trouver ce min). Par contre on a généralement pas d'unicité.

Cet exemple se généralise dans le plan et avec n'importe quelle norme (et éventuellement un nombre infini de points).

Posté par
mouss33
re : extremum local et global 17-11-08 à 20:38

la fin devient trop compliquée pour moi!

Je trouve quand même cette leçon très théorique par rapport à ce qu'on en fait dans la pratique.

Quand on a une fontion à étudier, on se contente de calculer la dérivée et cela nous permet de trouver les extremums!

Posté par
mouss33
re : extremum local et global 17-11-08 à 20:41

J'en profite pour poser une autre question. Quels sont les applications possibles pour cette leçon?

J'ai un exercice d'optimisation d'aire. Après je voulais mettre une fontion où on étudie les extremums mais comme cela se limite à une étude de fontion, je ne trouve pas cela top!

Posté par
tringlarido
re : extremum local et global 17-11-08 à 20:47

C'est faux. Mon exemple élémentaire n'est pas dérivable et tu ne peux pas conclure grâce à ton théorème.
La connaissance de la dérivée ne te permet pas de déduire l'existence d'estrema. D'autre part, le calcul d'une dérivée peut-être une chose très pénible et le fait de la connaître n'est pas forcément instructif. De plus dans la pratique on ne peut pas calculer les zéros de la dérivée (ne serait-ce qu'un polynôme de degré 6).

Si je te donne la fonction :

 \\ f(x) = e^{x^2} + \frac{4x^8 - 5x^2 + 2}{x^2 + 1} \cos(x) + \frac{8x^9 - 5x^3 + 1}{x^2 + 3} \sin(x)
 \\
comment prouves-tu l'existence d'un minimum ?

Posté par
boby6
re : extremum local et global 17-11-08 à 20:52

Bonsoir,

Citation :
Ensuite pour mon 2ième théorème pour avoir une condition suffisante globale, j'ai trouvé ça:
Si f est 2 fois dérivable sur {I}\limits^o  et f'(a)=O.
Si f''(x)>0 pour tout x de I, alors f admet un min globale en a
Si f''(x)<0 pour tout x de I, alors f admet un max globale en a


On peut affaiblir les hypothèses.

Exemple :
f : x \rightar |x| en 0 admet un minimum global, or cette fonction n'est même pas dérivable une fois en 0.

Je te propose donc celui-là :
Théorème :
Soit I un intervalle de \mathbb{R}, a \in {I}\limits^{o} et f : I \rightar \mathbb{R} continue sur I.
Si f est dérivable sur {I}\limits^{o} \ {{a}}, et si,
pour tout x \in {I}\limits^{o} \ {{a}},   on   a (x-a)f'(x) \ge 0     (resp. (x-a)f'(x) \le 0)
alors f admet un minimum global en a      (resp. maximum global en a)


La fonction de mon exemple illustre le fait qu'il n'est pas nécessaire que f soit dérivable en a.
Il peut alors être intéressant de donner un exemple de fonction illustrant le fait que la continuité le soit ! (Je te laisse le soin d'en trouver un)

Bonne soirée

Posté par
matovitch
re : extremum local et global 17-11-08 à 20:53

Citation :
Quand on a une fontion à étudier, on se contente de calculer la dérivée et cela nous permet de trouver les extremums!

Dans ce cas comment trouver le maximum de x3$\fr{\sqrt{1-cosx}}{tanx} sur 3$]0;\fr{\pi}{2}] ?

MV

Posté par
mouss33
re : extremum local et global 17-11-08 à 21:05

ah oui exact... dans ma tête je me limiter aux fonctions polynomes...!

Pour boby, ce théorème aussi je l'avais mais j'avais du faire un choix au niveau des théorèmes à placer et j'avais laisser de coté celui là!

Mais finalement je vais le reprendre. Tu m'as fait changer d'avis!

par contre la démonstration est-elle facile? à vue d'oeil, il faut utiliser le "TAF" non?

Pour l'exemple, on peut prendre x qui admet un minimum global en 0 alors qu'elle n'est pas dérivable en 0. non?

Dans ton profil, j'ai vu que tu avais mis capes. Tu le passes cet année?

Posté par
boby6
re : extremum local et global 17-11-08 à 21:12

Re-bonsoir,

Citation :
Pour l'exemple, on peut prendre \sqrt x qui admet un minimum global en 0 alors qu'elle n'est pas dérivable en 0. non?

Oui, ça marche aussi.

Citation :
Dans ton profil, j'ai vu que tu avais mis capes. Tu le passes cet année?

Non, je l'ai obtenu il y a déjà quelques années. Mais j'"entretiens mon niveau", puisque j'enseigne en collège, on perd vite !

Posté par
mouss33
re : extremum local et global 17-11-08 à 21:23

Félicitations! (avec un peu de retard!)

Pour la démonstration du théorème, je tenterais de la faire demain parce que là, je suis trop fatigué pour m'attaquer à une démonstration!

Si je trouve, je la posterais ici sinon, je demanderais de l'aide!

Par cotnre je réitère ma question. Pour le théorème que tu m'as donné hier à 21h03, on a juste besoin de supposer que f est dérivable sur un voisinage de a et non sur I tout entier non?

Posté par
boby6
re : extremum local et global 17-11-08 à 21:43

Citation :
Par cotnre je réitère ma question. Pour le théorème que tu m'as donné hier à 21h03, on a juste besoin de supposer que f est dérivable sur un voisinage de a et non sur I tout entier non?


Oui puisque c'est local...

Posté par
mouss33
re : extremum local et global 18-11-08 à 15:13

Juste pour dire que c'est ok pour la démonstration du théorème!

Avec le théorème des accroissements finis cela marchait très bien!

Encore merci pour ton aide!

Posté par
carpediem
extremum local et global 18-11-08 à 17:10

salut

le maximum d'une fonction est un maximum local qui est ... plus grand que tous les éventuels autres !!

sinon 2 exemples en statistiques:
soit (x_1,n_1),...(x_p,n_p) une série statistique avec n_1+n_2+...+n_p=N

alors la moyenne m est le nombre qui minimise la fonction xn_i(x_i-x)²
et tout nombre qui minimise la fonction xn_i|x_i-x| est une médiane



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