Bonjour,
ce n'est pas difficile du tout, tu peux par exemple passer en polaire et écrire l'équation d'une droite ou d'un cercle et de voir que c'est envoyé sur une droite ou un cercle.
On peut également trouver une démonstration en posant une équation cartésienne.

C'est surement fait sur wikipedia à Transformations de Mobius.

Bonsoir,
on peut remarquer, mais ce n'est pas une démonstration, que est la  composée de l'inversion de pôle O et de rapport 1 et de la  symétrie par rapport à Ox.

Bonsoir à tous,
d'abord merci à ceux qui m'ont répondu ou ont au moins essayé de m'aider.
J'ai suivi les conseils de otto, mais mes démonstrations sont très "moches" je trouves, de plus je ne suis pas certain qu'elles soient toutes bonnes.
Je vous les exposerai peut-être sur ce même "topic" ce week-end si le temps me le permet et si c'est compréhensible pour avoir vos avis et que vous me disiez si vous pensez que c'est correct ou non.
En attendant je cherches toujours des démonstrations sur internet mieux que celles que j'ai fais.
J'espères donc que quelqu'un pourra m'aider d'avantage.
Merci.

Bonsoir,
en utilisant l'inversion il y a des démonstrations assez <<propres>> encore qu'elles conduisent à des disjonctions de cas un peu artificielles.
Je pense que tu peu lire avec profit <<Géométrie>> de Michèle Audin III.4 ou, un peu plus elliptique,  <<Géométrie>> de Marcel Berger 10.8.

Ps : en cas de besoin je peux te poster la démonstration d'Audin, si mes souvenirs sont bons je l'avais vu en terminale, il y a un peu plus de trente ans.