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factorisation

Posté par boo (invité) 03-08-05 à 16:30

bonjour !

je n'ai aucune idée de la façon de traiter l'exercice suivant :
il s'agit de mettre sous la forme
( P+Q 3 )²
  où P et Q sont des entiers les nombres A et B suivants :
A = 21 - 123
B =  7 -  43

a priori, ça n'a pas de rapport avec le début de l'exercice ou il fallait determiner tous les réels x tels que :
x+1 = 2 + (2/3  +1)


merci de me mettre sur une piste

Posté par
cqfd67re : factorisation 03-08-05 à 16:32

salut pour le premier

A=(a-bV(3))²

tu developpes et tu identifies avec ce que tu dois trouver
tu dois avoir un systeme 2 equations a 2 inconnues

Posté par
cqfd67re : factorisation 03-08-05 à 16:37

salut pour le premier j ai trouve A=(3-2V(3))²

Posté par
rene38re : factorisation 03-08-05 à 16:43

Bonjour
oui, 3$ A=(3-2\sqrt3)^2=(2\sqrt3-3)^2

et 3$ B=\frac{A}{3}

Posté par boo (invité)re : factorisation 03-08-05 à 16:45

Ok merci !
je vais de ce pas essayer
merci beaucoup !
je viendrais ensuite poster le résultat du second

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : factorisation 03-08-05 à 16:47

(P+Q.V3)² = P² + 2V3.PQ + 3Q²
(P+Q.V3)² = (P² + 3Q²) + 2PQ.V3

On identifie le second membre avec 21 - 12V3

On obtient le système:
P²+3Q² = 21
2PQ = -12

P²+3Q² = 21
PQ = -6

P = -6/Q

(-6/Q)² + 3Q² = 21
36/Q² + 3Q² = 21
12/Q² + Q² = 7
12 + Q^4 = 7Q²

Q^4 - 7Q² + 12 = 0

Poser Q² = x --> x doit ^tre positif.
x² - 7x + 12 = 0

x = [7 +/- V(49-48)]/2
x = (7 +/- 1)/2
x = 3 et x = 4

Comme Q est entier, on a Q²=4 qui convient ---> Q = -2 ou Q = 2

P = -6/Q -->
Q = 2 domme P=-3
Q = -2 donne P = 3

On a donc A = 21 - 12V3 = (-3 + 2V3)² ou bien (3 - 2V3)²
-----
A toi pour le B ...
-----
Sauf distraction.  

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : factorisation 03-08-05 à 17:07

Pour le plaisir, une autre rédaction :

...
\Leftrightarrow P^2+3Q^2=21 et 2PQ=-12 et P,Q entiers
\Leftrightarrow P^2+3Q^2=21 et 3P^2Q^2=108 et P,Q entiers de signes différents
\Leftrightarrow P^2 et 3Q^2 sont solutions de x^2-21x+108=0 et P,Q entiers de signes différents
\Leftrightarrow P^2 et 3Q^2 sont solutions de (x-9)(x-12)=0 et P,Q entiers de signes différents
\Leftrightarrow P^2=9 3Q^2=12 P,Q entiers de signes différents ou P^2=12 3Q^2=9 P,Q entiers de signes différents
\Leftrightarrow P^2=9 3Q^2=12 P,Q entiers de signes différents (le 2ème cas n'est pas possible : P non entier)
\Leftrightarrow P=3 Q=-2 ou P=-3 Q=2

Nicolas


Posté par boo (invité)re : factorisation 03-08-05 à 18:15

ayé
j'ai bien lutté malgré vos explications dont j'ai pu apprecier tant la qualité que la quantité.
mici


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