Niveau autre

Factorisation

Posté par
Grenou 01-09-13 à 21:56

Bonjour, j ai un petit problème consternant la factorisation de ce polynôme: je n'arrive pas a le résoudre : (t^3+2)
Merci a l avance pour votre aide

édit Océane : forum modifié

Posté par re : Factorisation 01-09-13 à 22:41

Bonjour,

Posons $t = x\sqrt[3]{2}$

Le polynôme devient : $2(x^3+1)$
$-1$ est racine évidente.
Factorisons : $2(x+1)(x^2-x+1)$
Le discriminant du troisième facteur est strictement négatif, donc le troisième facteur ne peut pas être factorisé plus avant dans $\mathbb{R}$
Remplaçons $x$ par son expression en fonction de $t$ .
Le polynôme devient : $2\left( \dfrac{t}{\sqrt[3]{2}} + 1 \right)\left( \left(\dfrac{t}{\sqrt[3]{2}}\right)^2 - \dfrac{t}{\sqrt[3]{2}} + 1 \right)$
Après nettoyage :
$\left( t + \sqrt[3]{2} \right)\left( t^2 - t\sqrt[3]{2} + \left(\sqrt[3]{2}\right)^2 \right)$
Sauf erreur !

Nicolas

Posté par Factorisation 02-09-13 à 09:32

Je ne comprends pas pourquoi vous avez mis au début=x32?
Mais je vous remercie pour la réponse

Posté par re : Factorisation 02-09-13 à 15:43

Dans le but de me ramener à un polynôme plus simple à factoriser.

Posté par re : Factorisation 02-09-13 à 17:44

Et cela avec n importe quel nombre ? Par exemple : t=(x^3+5)
On prend t= x•35?
Désolé pour toute ces question :/

Posté par re : Factorisation 02-09-13 à 18:20

Bonjour

oui.

en fait on utilise l'identité remarquable :

A³ + B³ = (A + B)(A² - AB + B²)
d'où le B = racine cubique de "B³", nombre dont le cube est B³

comme cette identité n'est pas au programme, on utilise l'astuce de Nicolas.

de la même façon que pour factoriser t² - 41 (avec l'identité A² - B² bien connue) on utiliserait la racine carrée de 41 et que ce serait pareil avec n'importe quelle valeur à la place de 41