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Factorisation du 5ème degré

Posté par
bigzpanda
25-11-06 à 12:42

Bonjour,
je cherche à factoriser le polynôme du 5pme degré que voici:
x5+3x4-16x-48

Je suis arrivé à trouver 3 zéros du polynôme, ce qui fait que je peux l'écrire:
P(x)=(x-2)(x+2)(x+3)*Q(x)

A ce moment là, je peux diviser avec Horner P(x) par (x-2)(x+2)(x+3), ce qui donne x²+4, c'est la bonne réponse.

Mais voilà je dois utiliser la méthode qui suit, mais avec elle j'arrive sur quelque chose d'autre:

On sait que P(x) est du 5ème degré, donc il peut s'écrire:
P(x)=(x-2)(x+2)(x+3)(ax²+bx+c)

Par la règle d'égalité des polynomes:
x5=ax5 => a=1
-48=-12c=4

Je trouve donc ici quelque chose de bon, x²+4, mais ensuite le b devrait être égal à 0:

-16x=-12b => b=4/3

Aie...

Sauriez-vous me dire ou se trouve mon erreur ?
Merci d'avance

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Factorisation du 5ème degré 25-11-06 à 12:43

Bonjour,

Pour calculer b, il faut... tout développer !

Nicolas

Posté par
bigzpanda
re : Factorisation du 5ème degré 25-11-06 à 12:45

Ok, cela fait:
(x³+3x²-4x-12)(ax²+bx+c)
Si je ne m'abuse le coéfficien de x sera -12:
-16x=-12b => b=4/3
Je tombe sur la même chose ?!

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Factorisation du 5ème degré 25-11-06 à 12:48

(x³+3x²-4x-12)(x²+bx+4) = x^5+3x^4-16x-48
Coefficient de x dans le membre de gauche : -12b-16
Coefficient de x dans le membre de droite : -16
Donc b=0

Posté par
fusionfroide
re : Factorisation du 5ème degré 25-11-06 à 12:51

Salut

En développant :

3$\rm P(x)=x^5a+x^4b+x^3c+3x^4a+3x^3b+3x^2c-4ax^3-4bx^2-4xc-12ax^2-12bx-12c
  
Soit 3$\rm P(x)=ax^5+x^4(b+3a)+x^3(c+3b-4a)+x^2(3c-4b-12a)+x(-4c-12b)-12c

En identifiant, on obtients le système suivant :

a=1

b+3a=3

c+3b-4a=0

3c-4b-12a=0

-4c-12b=-16

-12c=-48


Sa résolution nous donne :

3$\rm a=1, 3$\rm b=0 et 3$\rm c=4

Donc 3$\rm P(x)=(x-2)(x+2)(x+3)(x^2+4)

Posté par
fusionfroide
re : Factorisation du 5ème degré 25-11-06 à 12:51

Un peu en retard

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Factorisation du 5ème degré 25-11-06 à 12:53

Toi aussi, tu as eu une pulsion de LaTeX ?

Posté par
bigzpanda
re : Factorisation du 5ème degré 25-11-06 à 12:58

Merci beaucoup de votre aide, j'ai compris ma faute
Je trouve maintenant bien la bonne réponse.

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Factorisation du 5ème degré 25-11-06 à 13:00

Pour ma petite part, je t'en prie.

Posté par
fusionfroide
re : Factorisation du 5ème degré 25-11-06 à 13:04

Nicolas :

Pour ma part de rien également

Posté par
geo3
re : Factorisation du 5ème degré 25-11-06 à 13:13

bonjour
en développant on a
coéfficient de x = -12b - 4c = -16 et avec c=4   on a bien b = 0 ; de plus
---------------x² = -12a - 4b + 3c = 0 et avec a=1 et c = 4   on a bien b=0
*
en associant et mise en évidence on a
x5+3x4-16x-48 = x4.(x+3)  - 16.(x+3) = (x+3).(x4-16) = (x+3).(x²+4).(x²-4) =(x+3).(x-2).(x+2).(x+4)
A+



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