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Fausses pièces
Bonsoir à tous,
j'ai 96 vraies pièces de poids identique et 4 fausses pièces de poids identique également mais plus légères que les vraies.
Je vais pouvoir faire uniquement deux pesées avec une balance de Roberval.
Quel est le nombre maximum de vraies pièces que je suis sure de pouvoir identifier ?
Vous pouvez faire une offre même si vous n'avez pas le max, c'est toujours ça de gagné 
Évidemment, je ne peux pas reconnaitre les vraies des fausses pièces autrement que par leur poids et elles sont mélangées sinon ce ne serait pas drôle
Bonjour dpi et merci de ton intérêt à mon problème, j'étais bien embêtée toute seule avec mes pièces.
Tu n'es pas obligée de peser toutes les pièces lors d'une pesée ainsi tu peux avoir des informations indirectes sur un troisième paquet de pièce.
Malheureusement, on fera nettement moins bien que 50 vraies pièces identifiées de manière sure.
C'est le genre de problème qui demande réflexion....
En faisant une arborescence des cas possibles j'arrive souvent à 24
mais quelquefois à 12 ,ce qui n'est pas brillant
Bonjour,
@dpi,
C'est déjà mieux que moi
@Vassillia,
L'absence de réponse ne signifie pas non intérêt, mais difficulté 
Si rien de constructif n'apparaît au bout d'un temps raisonnable, une indication sera bienvenue.
Je demande un QCM : qu'on puisse choisir parmi 4 ou 5 réponses.
Et si la valeur 0 est dans la liste des réponses, ce sera ma réponse.
Toujours en 2 pesées, d'accord pour le QCM :
A : 0
B : 12
C : 13
D : 14
Si j'étais sournoise je rajouterai "E : autre réponse" mais je ne suis pas sure que ça aiderait beaucoup 
Je suis perplexe.
12, 13, 14 : ça a l'air de 3 nombres sortis de nulle part. Je ne vois pas trop quels calculs / quelles stratégies pourraient nous emmener vers l'un ou l'autre de ces 3 nombres.
Donc ça confirme mon résultat : 0
MAIS, parce qu'il y a forcément un MAIS,
Dans ce cas, quelle drôle d'énigme, quel piège ... on ne s'attend pas du tout à ce que la réponse soit 0.
Effectivement, ce n'est pas 0, cette réponse est là juste parceque tu me l'as demandée et je voulais te faire plaisir.
Peut-être qu'il faudrait essayer de faire 12 comme dpi et ensuite voir comment la situation peut s'améliorer ou pas...
A supposer que sa stratégie fonctionne, il a donc une très jolie stratégie.
Ne pas oublier que la proportion des fausses pièces est assez faible
et que la première pesée moitié moitié donne peu de cas:
50 / 46+4 (très faible proba )
49+1 / 47+3
48+2 / 48+2 (équilibre )
et c'est tout (symétrie).
Donc ty59847 peux trouver...
Merci pour les indications ; mais je cale encore.
Avec 50 pièces dans chaque plateau pour la 1ère pesée, il y a effectivement 3 cas à envisager :
a) 50 / 46+4 (penche à gauche ou à droite)
b) 49+1 / 47+3 (penche à gauche ou à droite)
c) 48+2 / 48+2 (équilibre )
Dans les cas de déséquilibre, c'est à dire a) et b), le plateau le plus lourd contient 0 ou 1 pièce fausse.
Si on partage en 2 paquets de 25 pièces le contenu du plateau lourd, et qu'on compare le poids de ces deux paquets, on trouve au moins un des deux paquets sans pièce fausse.
Reste le cas c)
Hmm dpi, il n'y a pas d'histoire de proba là dedans, on veut la certitude d'avoir un certain nombre de vraies pièces. En partant de 50/50 je ne vois pas comment on va s'en sortir pour la raison qu'invoque Sylvieg. C'est bien pour ça que j'avais suggéré un troisième groupe.
Je donne une solution pour avoir 12 vraies pièces comme ce n'est pas le max qu'on peut obtenir, ça vous inspirera peut-être.
Cliquez pour afficherA vous de faire mieux, il ne reste plus beaucoup d'items, vous pouvez toujours voter pour une promesse de 13 ou 14 vraies pièces identifiées.
Avec l'indice 12/13/14, ça aide !
Je croyais avoir bien avancé, mais j'étais encore bloqué.
Je partais sur une pesée A//B, avec A=B=42 pièces par exemple.
Si déséquilibre, bingo ... on conclue facilement.
Si équilibre, je mettais de côté les 42 pièces de A, je coupais B en B1=29 pièces et B2=13 pièces
Et je pesais B1 contre B2+C
Si équilibre, on conclue
Si B1 plus léger que B2+C, on conclue aussi, mais le cas B1 plus lourd que B2+C ne permettait pas de conclure.
Et là, j'ai rallumé l'ordinateur... et j'ai craqué, j'ai regardé la réponse.
Quand on aura répondu à cette question, la question suivante est : calculer les probabilités associées à chaque cas
Je plancherai ensuite sur les "certitudes"...
Si c'était un jeu ,je miserais sur 25 avec un fort pourcentage de gains :
Je divise mes 100 pièces en 2 plateaux:
*la balance penche (peu importe le coté)
*je divise en deux le plateau le plus lourd.
*à la deuxième pesée si j'ai l'équilibre je mise sur 50
car si on avait au départ 50/46+4 nous avons bien 50/2
et si la balance penche,je mise sur 25 car on avait au départ
49+1/47+3 donc 25/24+1 à la deuxième pesée.
La balance est en équilibre soit 48+2/48+2
Nous aurons :
soit la balance penche soit 25/23+2 je mise sur 25
soit en équilibre 24+1/24+1 je ne mise pas ou demande une 3ème pesée.
Dans la solution proposée par Vassilia, on a A=28, B=28, C=44
Et donc si il y a égalité entre A et B, B1=C-A=16 et B2=B-B1=12
Alors que Si A est plus lourd que B, on divise A en A1 et A2, chacun avec 14 pièces.
Une fois qu'on a choisi la taille 28, la suite est imposée.
Le pire scénario avec ce choix de 28, c'esst quand le groupe solution est B2, ce qui donne seulement 12 pièces.
Si on essaie d'autres valeurs à la place de 28 :
A=27 , C=100-2A=46, B1= 100 -3*A= 19 , B2=4*A-100=8 A1=A/2=13
Pas terrible du tout, on risque d'avoir 8 pièces seulement.
A=29; C=100-2A=42, B1= 100 -3*A= 13 , B2=4*A-100=16 A1=A/2=14
A=30; C=100-2A=40, B1= 100 -3*A= 10 , B2=4*A-100=20 A1=A/2=15
C'est pour A=29 qu'on a le meilleur résultat, on a l'assurance d'avoir au moins 13 vraies pièces.
D'accord, tu as été bien inspiré puisque tu as le meilleur résultat pour le moment mais on peut obtenir 14 vraies pièces
Ta première pesée est bonne, inutile de la modifier. Pour la 2ème, à toi de voir quoi modifier mais on y est presque
Après, on s'occupera de la meilleure espérance comme tu le proposes, bonne idée !
Pour la 2ème pesée, on peut mettre 43 pièces sur chaque plateau, d'où viennent t'elles et pourquoi on arrive à s'en sortir ?
En l'absence de réponse de ty59847, je me lance.
On en était resté à A = B = 29 ; donc C = 42.
1ère pesée : A contre B
Si déséquilibre avec A < B par exemple.
Dans B il y a au maximum une pièce légère.
On partage B en B1 = B2 = 14 et B3 = 1.
Seconde pesée : B1 contre B2.
Si équilibre alors l'éventuelle fausse pièce de B est dans B3.
B1+B2 ne contient que des vraies pièces.
Sinon, elle est dans le plus léger entre B1 et B2.
Donc le plus lourd des deux est sans fausse pièce.
Si équilibre A = B.
C contient un nombre pair de pièces fausses : 0, 2 ou 4.
Cas 0 : 0 dans C ; donc 2 dans A et 2 dans B.
Cas 2 : 2 dans C ; donc 1 dans A et 1 dans B.
Cas 4 : 4 dans C ; donc 0 dans A et 0 dans B.
Avec l'indication pour la seconde pesée :
B = B1+B2+U avec B1 = B2 = 14 et U = 1.
On compare A+B1 avec C+U.
a) Si équilibre alors pas de cas 4 et pas de cas 0.
Ne reste que le cas 2 ; donc 2 pièces fausses dans C et dans A+B1 et aucune dans B2.
b) Si A+B1 plus léger que C+U alors pas de cas 4, ni de cas 2.
Ne reste que le cas 0, sans pièce fausse dans C.
c) Si C+U est plus léger que A+B1 alors cas 2 ou 4.
Si cas 2 alors la pièce fausse qui était dans B n'est pas dans B1.
B1 est donc sans pièce fausse.
Si cas 4 alors B1 est aussi sans pièce fausse.
salut
je suivais de loin .... mais n'avais guère d'idée intéressante sur le partage "judicieux" !!
cependant une question à la proposition de
On en était resté à A = B = 29 ; donc C = 42.
1ère pesée : A contre B
Si déséquilibre avec A < B par exemple.
Dans B il y a au maximum une pièce légère.
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