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fête forraine et proba
Bonjour
Je vous propose l'exercice suivant :
Lors d'un jeu d'adresse consistant à viser des cibles mobiles, Jean Bon tente sa chance et doit toucher des canards.
Chaque tentative de tir lui coûte 1 €, et il doit toucher 100 cibles pour espérer gagner un smartphone d'une valeur de 250 €.
À chaque tir, la probabilité de toucher une cible est de 1/5, et celle de la manquer est donc de 4/5.
Jean est très déterminé et ne compte pas s'arrêter tant qu'il n'aura pas atteint son objectif de 100 cibles touchées.
En moyenne, combien cela va-t-il lui coûter pour y parvenir ? ....
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Le raisonnement ?
L'espérance du temps d'attente d'un succès dans une suite d'épreuves indépendantes de probabilité de réussite 1/5 est 5 (loi géométrique) et la variance est 20.
L'espérance du temps d'attente de 100 succès est donc 500, et la variance 2000 (ce qui fait un écart-type d'environ 45).
Bonjour, le raisonnement le plus simple est le suivant, si Y est le nbr de tirs qui incluent les 100 tirs reussis et X echecs alors 100 + X =Y alors en terme d'espérance on a 100 +E(X) =E(Y) avec E(X) =(4/5).E(Y), alors 100+(4/5)E(Y)=E(Y)
et 100=(1/5).E(Y) d'ou E(Y) =500
Le calcul d'écart-type (et l'approximation par une loi normale) montre qu'il y a moins de 2% de chance de descendre 100 canards en moins de 400 essais.
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