Bonsoir et merci d'animer.
Je tente un truc:

 Cliquez pour afficher

si x est de la forme a⁸ⁿ⁺⁴ avec a entier alors f(x)=x et x⁴ sinon

Bonjour Jarod

J'ai sûrement mal formulé la question

Il faut trouver une fonction f de N dans N telle que pour tout n : fof(n)=n² .

Imod

Il me semble que c'est ce que fait ma fonction

Tu as raison , belle solution

Imod

Bonjour, jarod128

 Cliquez pour afficher

Si je ne me suis pas trompé, la fonction que tu as définie vérifie:




Mais:


Et donc, cette fonction ne vérifie pas:

Bonjour.

 Cliquez pour afficher

Il existe une infinité de fonctions de dans telles que:

Bonjour perroquet bien vue pour ma réponse. J'aavais mis je tente un truc car je sentais que quelque chose n'allait pas.
je modifie ainsi sans tout vérifier:

 Cliquez pour afficher

même définition de f mais a ne doit pas être un carré.

Soit l'ensemble de tous les nombres qui ne sont pas carrés.

A chaque nombre de cet ensemble on associe la série .

L'idée est de mixer ces séries de sorte que et

Je n'ai pas trouvé de forme close pour associer et . Mais il y a une manière facile quoique peu pratique:
Soit la liste ordonnée des éléments de . Et soit l'élément à la position de (le premier élément est à la position 0).

Oui , l'idée de LittleFox me semble bonne mais un peu difficile à suivre . Je reformule avec mes mots

On partitionne l'ensemble des entiers qui ne sont pas des carrés en deux parties dénombrables et . Tout entier naturel s'écrit alors de façon unique sous la forme ou avec a dans A , b dans  B et n une puissance de 2 . Il n'y a plus qu'à définir et

Imod

Bonjour,
@jarod128,
Il me semble que ta fonction ne convient pas, même avec la modif du 5 à 8h23.
Avec x = 9⁴ par exemple, on n'a pas fof(x) = x².

@Imod,
J'ai un problème avec 0 et 1 pour

Citation :
Tout entier naturel s'écrit alors de façon unique sous la forme ou

En effet , on peut d'ailleurs choisir f(1)=0 et f(0)=1 .

Imod

Oui, en fait, LittleFox en tenait compte dans son message du 5 à9h21.
Je reformule avec mes mots
Soit D l'ensemble des entiers naturels distincts de 0 et 1.
Soit u_k le k-ième entier naturel qui n'est pas le carré d'un entier, et E l'ensemble des u_k.
Tout élément x de D s'écrit de manière unique sous la forme (u_k)ⁿ avec n une puissance de 2.
Définition d'une fonction f qui convient :
f(0) =0, f(1) =1.
Et pour x dans D,
si k est impair f((u_k)ⁿ) = (u_k+1)ⁿ
si k est pair f((u_k)ⁿ) = (u_k-1)²ⁿ.

Oui, c'est ma réponse avec des modifications minimes:
- J'ai utilisé f(0) = 1 et f(1) = 0 mais effectivement, on a le choix entre deux possibilités.
- Votre n est mon 2^x
- Votre u_k est mon l_i
- Votre E est mon e

Oui, j'ai choisi exprès la lettre E

L'idée clé de la démonstration est de partitionner les non carrés en deux parties équipotentes , on évite ainsi les écueils des propositions de Jarod128 . Le reste n'est que de la finition facile . Personnellement je trouve que l'on cache un peu les choses en regroupant ces deux parties en  une suite alternant les termes .

Mais bon , les égouts et les couleuvres

Imod

Pour vérifier que j'ai bien compris le principe :
On pourrait prendre pour A les entiers naturels non nuls multiples de 2022.
Et pour B les entiers naturels non multiple de 2022, non nuls et différents de 1.
En fait, en mettant à part 0 et 1, n'importe quel sous-ensemble infini de peut convenir pour A. Puis le complémentaire pour B.

Sans oublier la condition "non carré".

Oui c'est ça , en vérifiant que le complémentaire de A est infini . Toute partition de N-{0;1} en deux sous ensembles dénombrables fournit une infinité de solutions car on peut ensuite ordonner ces deux parties n'importe comment .

Imod