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Fonction à construire

Posté par
pppa
10-03-15 à 19:38

Bonjour
pouvez-vous svp m'aider à résoudre cet exercice :

Trouver une fonction f  définie sur un ensemble à déterminer telle que

\lim_{x\to 1} = +\infty  et \lim_{x\to +\infty} = 1

et sachant que f est décroissante sur ]1;2] et croissante sur [5;+[

Merci par avance.

Je pense qu'il s'agit d'une fraction rationnelle de dénominateur (x-1)², dont la courbe représentative admet :
une asymptote horizontale y = 1
une asymptote verticale x = 1

C'et la dernière information que je n'arrive pas à exploiter (je pense qu'il faut en déduire un type de dérivée de f, mais comment ?)

Posté par
carpediem
re : Fonction à construire 10-03-15 à 19:59

salut

si ton dénominateur est (x - 1)^2 alors la limite 1 en +oo impose de chercher un numérateur de la forme x^2 + ax + b = n(x)

donc poser f(x) = \dfrac {x^2 + ax + b}{(x - 1)^2} avec n(x) > 0

puis dériver f et trouver a et b permettant de vérifier les conditions de variations .....

Posté par
pppa
re : Fonction à construire 10-03-15 à 20:01

merci je regarde...

Posté par
pppa
re : Fonction à construire 11-03-15 à 19:59

j'ai travaillé sur l'exercice en m'inspirant de ce que tu m'as indiqué et t'en remercie.

Ceci dit, je pense qu'il y aurait une petite erreur dans l'énoncé, à savoir f est croissante sur [2;+[ et  non [5;+[ ; il faut bien savoir comment évolue f entre 2 et 5 par cohérence avec le reste de l'énoncé et pour pouvoir avancer me semble-t-il, ou bien ?.

Sur cette base, j'ai trouvé que toute fonction telle que a < -2 et b = -2-(3/2)a vérifie les conditions demandées.

Par contre je n'ai pas compris pourquoi tu stipules n(x) > 0 ; pr a < -4, n(x) et donc f(x) peut prendre des valeurs négatives, puis redevenir positive pour tendre vers 1 par valeurs inférieures lorsque x tend vers +, les conditions demandées étant tout de même vérifiées.

Merci de me dire ce que tu en penses

Posté par
carpediem
re : Fonction à construire 11-03-15 à 20:12

oui j'ai été imprécis ...

en fait n(x) > 0 dans un voisinage de 1 (au dessus) puisque la limite est +oo et dans un voisinage de +oo puisque la limite est +1 ....

elle peut ensuite entre les deux être négative ....

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