Niveau autre

Fonction bijective.

Posté par
chakib 12-11-13 à 22:04

Salut tout le monde,

Soit $\mathbb{E} = \mathbb{R}^* X \mathbb{R}$ et $\phi$ l'application de $\mathbb{E}$ dans $\mathbb{R}^2$ définie par :

$\phi(x,y)=(\frac{y}{x},x)=(u,v)$     montrer que $\phi$ est une bijection.

Soit $(u,v)\in \phi(\mathbb{E})= \mathbb{R} X \mathbb{R}^*$ :

$\phi(x,y)=(u,v) \Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}l \frac{y}{x}=u \\ x=v \end{array}\right. \\                      \\                     \Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}l y=uv \\ x=v \end{array}\right.$

$===> \forall(u,v)\in \phi(\mathbb{E})  \exists!(x,y)=(v,uv)\in\mathbb{E} : \phi(x,y)=(u,v)$
$===> \phi$ est une bijection de $\mathbb{E}$ sur $\phi(\mathbb{E})$ .

merci de me corriger.

Posté par re : Fonction bijective. 13-11-13 à 09:18

bonjour

la démarche est bonne
ensuite deux remarques:
1) lorsque tu écris (u;v) € F(E)=IRxIR* ; je note F=Phi
tu supposes que F est surjective. alors que c'est ce qu'il faut démontrer.

2) si tu prends (u;v)=(1;0) dans IR² alors

y/x=1 et x=0 alors que x est dans IR* donc (1;0) n'a pas d'antécédent F n'est donc pas surjective à moins que l'ensemble de destination soit IRxIR*