Fonction de graphe dense dans R²

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Fonction de graphe dense dans R²
Posté par 
Fractal  05-11-07 à 13:56
Bonjour 

Un petit défi sympathique pour ceux qui s'ennuient : 

Citation :
Soit f une fonction non continue de R dans R, telle que f(x+y) = f(x) + f(y) pour tous réels x,y.

Montrer que le graphe de f est dense dans .

Bonne chance 
Réponses blankées svp.

Fractal 
 Posté par 
Camélia re : Fonction de graphe dense dans R²  05-11-07 à 14:24
Bonjour

Par non continue, tu veux dire qu'elle est discontinue en chaque point?
 Posté par 
Fractalre : Fonction de graphe dense dans R²  05-11-07 à 14:31
Bonjour Camélia 

Par non continue, je veux dire qu'il y a au moins un point en lequel elle n'est pas continue, mais il se trouve que cela impliquera qu'elle est discontinue en chaque point.

Fractal 
 Posté par 
Fractalre : Fonction de graphe dense dans R²  17-11-07 à 13:10
Pas d'amateur? 

Fractal 
 Posté par 
1 Schumi 1re : Fonction de graphe dense dans R²  24-11-07 à 08:04
Un nain dix peut être? 
 Posté par 
Fractalre : Fonction de graphe dense dans R²  24-11-07 à 11:14
Alors, je ne sais pas quelle est la meilleure solution, il y en a sûrement plusieurs, mais par rapport à ma solution, il pourrait être intéressant de remarquer que à x fixé,  (et d'essayer de bien comprendre ce que veut dire cette relation).

Fractal 
 Posté par 
mikayaoure : Fonction de graphe dense dans R²  24-11-07 à 11:29
salut Fractal

ce qui laisse entendre que f(p/q) = (p/q).f(1) ?

 Posté par 
Fractalre : Fonction de graphe dense dans R²  24-11-07 à 11:36
Absolument, d'ailleurs pour trouver toutes les fonctions continues vérifiant cette équation fonctionnelle, on démontre la relation que tu cites, puis par continuité on en déduit que les solutions sont les fonctions linéaires.

Fractal 
 Posté par 
mikayaoure : Fonction de graphe dense dans R²  24-11-07 à 11:39
merci Fractal..mais j'ai atteint mon seuil d'incompétence 

 Posté par 
betatesterre : Fonction de graphe dense dans R²  25-11-07 à 13:29
Salut,

ceci peut être vu géométriquement : 

déjà,  Si l'on suppose que  cela veut dire que le graphe de  est dense sur la droite passant par les points  et 

Puis, la condition de non continuité veut juste dire que l'on peut trouver des réels (non nuls)  tels que  et  avec  

Pour tout disque dans le plan, on peut trouver un rationnel  tel que la droite passant par les points  et  coupe le disque.

Vu que le graphe de  est dense sur cette droite, cela signifie qu'il doit y avoir un point du graphe appartenant à cette droite qui soit aussi à l'intérieur du disque, ce que l'on désirait. 
  Posté par 
Fractalre : Fonction de graphe dense dans R²  25-11-07 à 20:31
betatester -> 
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Ma solution consistait à montrer que si on considère l'ensemble des droites de coefficient directeur f(1), le graphe de f est dense sur chaque droite d'un sous ensemble dense de ces droites, ce qui conclut 

Fractal