bonjour,

je prépare un concours et potasse des qcm de l'année dernière, mais ceux-ci ne sont pas corrigés et j'aimerais connaitre les vrais réponses pour pouvoir m'entrainer correctement.

Sur ces questions je bloques et j'ai vraiment besoin de votre aide. (toutes les questions sont liées)

Enoncé:

On considère la fonction f définie par, pour tout x réel, f(x)=1/(1+t²) dt  t allant de 0 à 2x

On notera g la fonction définie par, pour tout x réel, g(x) =  1/(1+x²)

question 1: Parmis les assertions suivantes, lesquelles sont vraies:

a- f(x) est définie pour tout x réel car g est définie sur l'ensemble des réels
b- f(x) est défini pour tout x réel positif car g est continue sur l'intervalle [0,2x]
c- g admet une unique primitive sur l'ensemble des réels car g est continue
d- Si G note une primitive de g, alors pour tout x réel f(x) = G(2x)

question 2: Par les assertions suivantes, lesquelles sont vraies:

a- Comme 1/(1+t²)>0 pour tout t réel, on peut dire que pour tout a et b deux réels, 1/(1+t²) dt0   pour t compris entre a et b
b- f(b)-f(a) = 1/(1+t²)dt ( t compris entre 2a et 2b) et donc f(b)-f(a)0 si et seulement si ba
c- f est décroissante
d- f est croissante

question 3: Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies:

a- f est dérivable sur l'ensemble des réels et pour tout x réel f'(x)= 1/(1+4x²)
b- f est dérivable sur l'ensemble des réels et pour tout x réel f'(x)= 2/(1+4x²)
c- la tangente à la courbe représentative de f en 0 a pour équation y=x
d- la tangente à la courbe représentative de f en 0 a pour équation y=2x+1

question 4: Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies:

a- comme g est paire et en utilisant la définition de l'intégrale comme étant l'aire sous la courbe, f est paire.
b- comme g est paire et en utilisant la définition de l'intégrale comme étant l'aire sous la courbe, f est impaire.
c- pour tout x réel positif, f(x)1/(1+t²)+1-(1/x)   (bornes: 0 ; 1)
d- pour tout x réel négatif, f(x)>1/(1+t²)-1-(1/x)   (bornes:  0 ; -1)

question 5: On pourra utiliser sans le démontrer le théorème suivant: toute fonction croissante admet une limite en + qui est soit finie soit égale à +
Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies:

a- f(x) tend vers + quand x tend vers +
b- f(x) ne peut pas tendre vers + quand x tend vers + puisque pour tout x réel positif f(x)2
c- f admet une limite finie quand x tend vers +
d- on ne peut pas savoir avec les informations dont on dispose si f admet ou non une limite quand x tend vers +