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Fonction définie sur l'ensemble des parties.

Posté par
Yona07 17-10-21 à 14:54

Bonjour!  

Soit A et B deux parties non vides d'un ensemble E.
On considère l'application f, de \mathfrak{P}(E) dans \mathfrak{P}(A) \times \mathfrak{P}(B) définie par:

f(X)= (X\cap{A}; X\cap{B})

1/Montrer que f est injective AB=E (résolue)

2/ Montrer que f est surjective AB= (résolue)

3/Dans le cas où f est bijective, déterminer f-1.

Pour 3, (à partir de 1 et 2) on a:

\begin{cases} \text{f injective}\Leftrightarrow A\cup{B}=E\\ \text{f surjective} \Leftrightarrow A\cap{B}=\phi \end{cases}

Donc:

\text{f bijective}\Leftrightarrow A\bigcup_{}^{o}{B}=E

(le o sur le symbole de la réunion est normalement un point (.), mais vu qu'il n'était pas clair j'ai mis un o. Et ça signifie la réunion exclusive) ..

Jusque là c'est bon. Mais ce que je ne comprends pas est le fait que dans la correction d'exercice on a ajouté:
"Donc:

f^{-1}: \mathfrak{P}(A)\times \mathfrak{P}(B)\rightarrow \mathfrak{P}(E)\\ \text{\; \; \; \; (Y;Z)}\rightarrow Y\cup{Z}

(la flèche dans la 2ième ligne est ) "

Je ne comprends pas pourquoi on a conclut que l'application réciproque est définie comme là-dessus...

Merci d'avance!

Posté par
Maru0re : Fonction définie sur l'ensemble des parties. 17-10-21 à 16:19

Bonjour,

Pour comprendre d'où sort cette expression de f^{-1}, on peut déjà chercher à comprendre ce que fait f.

Dans le cas où A \amalg B = E, on a alors que fdécompose une partie donnée en sa composante dans A et sa composante dans B.
L'opération inverse consiste à dire :
on a une composante dans A, une composante dans B, et on veut reconstruire une partie dont la décomposition sur A et B est compatible.

Plus formellement, tu peux essayer de calculer f \circ f^{-1} et f^{-1} \circ f.
Ca pourrait aussi t'aider à comprendre ce que j'ai essayé d'expliquer plus haut.

Posté par
Yona07re : Fonction définie sur l'ensemble des parties. 17-10-21 à 21:53

Bonjour!
Merci pour avoir répondu!

Je ne comprends pas cette phrase:

Maru0 @ 17-10-2021 à 16:19

fdécompose une partie donnée en sa composante dans A et sa composante dans B.

...

Posté par
Maru0re : Fonction définie sur l'ensemble des parties. 17-10-21 à 23:01

Je reprends l'expression de f : f(X) = (X \cap A, X \cap B)

En gros, certains éléments de X sont dans A, et d'autres sont dans B.
J'appelle composante de X dans A le sous-ensemble de X constitué des éléments qui sont aussi dans A.
C'est précisément X \cap A.
On utilise la même idée en remplaçant A par B.

Si A et B sont disjoints, le mot "composante" me paraît adapté (en particulier si tu as déjà croisé le terme "composante connexe").
Et avoir A \cup B = E permet de dire que X n'a pas d'autres composantes que celles dans A et B.

Avec ce vocabulaire, j'espère que ma phrase est devenue compréhensible.
Sinon j'aurais besoin de plus d'explications sur ce que tu ne comprends pas.

Posté par
carpediemre : Fonction définie sur l'ensemble des parties. 18-10-21 à 17:41

salut

il suffit de remarquer que :

si A \cap B = \O   \red  (1)        et       A \cup B = E    \red  (2)        alors la famille (A, B) forme une partition de E

et alors tu peux aller voir ton cours sur les probabilités conditionnelles ... ... qui te donne la réponse ...


sinon :

si on a (1) alors pour tout X  :  (X \cap A) \cap (X \cap B) = \O

si on a (2) alors pour tout X  :  (X \cap A) \cup (X \cap B) = X


ce qui permet d'en déduire immédiatement la fonction réciproque de f ...

Posté par
Yona07re : Fonction définie sur l'ensemble des parties. 18-10-21 à 19:18

Merci Maru0 et carpediem!J'ai compris! ^_^

Posté par
carpediemre : Fonction définie sur l'ensemble des parties. 18-10-21 à 19:22

de rien


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