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fonction f(x)=(f(x+2023)-1)/(f(x+2023)+1)

Posté par
alb12 22-05-23 à 10:49

Salut,

\\ $Soit $f$ la fonction de $\R$ dans $\R$ telle que \\ $pour tout réel $x, f(x)=\dfrac{f(x+2023)-1}{f(x+2023)+1} \\ $Que peut-on dire de la fonction $f$ ? \\

Niveau: Seconde/Première.
Blankez vos indices.

Posté par
GBZMre : fonction f(x)=(f(x+2023)-1)/(f(x+2023)+1) 22-05-23 à 14:01

Bonjour,
L'article défini "la" me semble incorrect.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : fonction f(x)=(f(x+2023)-1)/(f(x+2023)+1) 22-05-23 à 14:11

Bonjour,

 Cliquez pour afficher

Posté par
Sylvieg Moderateurre : fonction f(x)=(f(x+2023)-1)/(f(x+2023)+1) 22-05-23 à 14:12

Bonjour GBZM,
Je suis d'accord

Posté par
Sylvieg Moderateurre : fonction f(x)=(f(x+2023)-1)/(f(x+2023)+1) 22-05-23 à 19:25

Complément :

 Cliquez pour afficher

Posté par
alb12re : fonction f(x)=(f(x+2023)-1)/(f(x+2023)+1) 23-05-23 à 15:25

"Une" evidemment.
Peut-on avoir un exemple de graphe d'une telle fonction ?

Posté par
GBZMre : fonction f(x)=(f(x+2023)-1)/(f(x+2023)+1) 23-05-23 à 15:43

La fonction de période 8092 qui vaut a sur [0,2023[, \dfrac{1+a}{1-a} sur [2023,4046[, \dfrac{-1}{a} sur [4046,6069[ et \dfrac{a-1}{a+1} sur [6069,8092[, où a est n'importe quel réel différent de -1,0,1.

Posté par
alb12re : fonction f(x)=(f(x+2023)-1)/(f(x+2023)+1) 23-05-23 à 16:39

oui
par exemple

fonction f(x)=(f(x+2023)-1)/(f(x+2023)+1)

Posté par
GBZMre : fonction f(x)=(f(x+2023)-1)/(f(x+2023)+1) 23-05-23 à 16:46

Il n'y a bien sûr aucune fonction continue sur \mathbb R vérifiant l'équation fonctionnelle.

Posté par
alb12re : fonction f(x)=(f(x+2023)-1)/(f(x+2023)+1) 23-05-23 à 16:49

ou encore (l'esthetique graphique n'est pas le point fort de Xcas )

fonction f(x)=(f(x+2023)-1)/(f(x+2023)+1)

Posté par
alb12re : fonction f(x)=(f(x+2023)-1)/(f(x+2023)+1) 23-05-23 à 16:50

GBZM @ 23-05-2023 à 16:46

Il n'y a bien sûr aucune fonction continue sur \mathbb R vérifiant l'équation fonctionnelle.

c'est la question (facile ) que j'allais poser

Posté par
GBZMre : fonction f(x)=(f(x+2023)-1)/(f(x+2023)+1) 23-05-23 à 17:11

Ce qui reste un mystère pour moi, c'est ce qui était attendu au niveau Seconde/Première comme réponse à la question "Que peut-on dire de LA fonction f ?".

Posté par
GBZMre : fonction f(x)=(f(x+2023)-1)/(f(x+2023)+1) 23-05-23 à 17:24

On peut rejouer avec par exemple

\large f(x)=\dfrac{\sqrt3 f(x+2023)-1}{f(x+2023)+\sqrt3}

Posté par
alb12re : fonction f(x)=(f(x+2023)-1)/(f(x+2023)+1) 24-05-23 à 09:24

cet enonce vous convient-il ?

\\ $Soit $f$ une fonction de $\R$ dans $\R$ telle que \\ $pour tout réel $x, f(x)=\dfrac{f(x+2023)-1}{f(x+2023)+1} \\ $Que peut-on dire d'une telle fonction $f$ ? \\

Des eleves on attend la simplification de f(x+2*2023) puis de f(x+4*2023)

sesion Xcas

Posté par
GBZMre : fonction f(x)=(f(x+2023)-1)/(f(x+2023)+1) 24-05-23 à 09:44

L'homographie x\mapsto \dfrac{x-1}{x+1} est conjuguée par la projection stéréographique à la rotation  d'un quart de tour dans le sens horaire sur le cerle unité.

Posté par
GBZMre : fonction f(x)=(f(x+2023)-1)/(f(x+2023)+1) 24-05-23 à 10:42

Question dans le prolongement : quelle est l'homographie conjuguée à une rotation d'un huitième de tour ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : fonction f(x)=(f(x+2023)-1)/(f(x+2023)+1) 24-05-23 à 14:13


Je propose f(x) = \dfrac{ax-1}{x+a} avec a = 1 \pm \sqrt{2}

Posté par
GBZMre : fonction f(x)=(f(x+2023)-1)/(f(x+2023)+1) 24-05-23 à 14:48


On peut vérifier que pour a =1+\sqrt2, le carré de cette homographie est bien l'homographie de l'énoncé de alb12.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : fonction f(x)=(f(x+2023)-1)/(f(x+2023)+1) 24-05-23 à 16:53

L'article défini " l' " me semble incorrect dans

Citation :
quelle est l'homographie conjuguée à une rotation d'un huitième de tour ?
\;

Posté par
GBZMre : fonction f(x)=(f(x+2023)-1)/(f(x+2023)+1) 24-05-23 à 23:17

"dans le sens horaire" était sous-entendu.


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