Niveau Préparation CRPE

Fonction majorée

Posté par
bouchaib 08-07-26 à 15:25

Bonjour,

On considère la fonction f définie par :

$f(x)=\frac{1}{x^2 -x}$
Montrer que f n'est pas majorée sur ]1; +infty[.
Remarque : parmi les questions posées avant cella: il a été demandé de déterminer le domaine de définition ( c'est fait ) et l'étude de la variation de f sur ]1;+infty[.
f n'est définie en 0 et 1.
Elle est strictement décroissante sur ]1; + infty[.

Pour montrer qu'elle n'est pas majorée sur cet intervalle , je procède par raisonnement par l'absurde.

* Supposons qu'il existe un réel M tel que :   $\forall x\in R, f(x)\leq M$

$\frac{1}{x^2 -x}\leq M$

$\frac{1-Mx^2 +Mx}{x^2 -x}\leq 0$
Si M<0 contradiction donc absurde,
Car  1/ (x²-x)>0 pour tout x de ]1;+[ et -M>0.

Si M>01-Mx²+Mx0;
=M²+4M>0

Alors  x₁= $\frac{-M - \sqrt_{M^2+4M}}{x^2 -x}\geq 1 \in ]1; +\infty[$

x₂= $\frac{-M +\sqrt_{M^×+4M}}{x^2 -x}\prec 0$ .
Absurde car x₁ ,et x₂  appartiennent à ]1; +infty[.

Si =0 M=0 x₁=x₂=1/2 ]1;+[. Donc absurde.
Conclusion : dans tous les cas c'est absurde donc f n'est pas majorée sur ]1;+[.
Merci

Posté par re : Fonction majorée 08-07-26 à 17:11

Bonjour,
On peut être plus expéditif en remarquant que $f(x) =\dfrac1{x(x-1)}$ et que si $1< x < 1+2^{-(n+1)}$ , alors $0< x < 2$ et $0 < x-1 < 2^{-(n+1)}$ , d'où $0<x(x-1) < 2^{-n}$ et $f(x) > 2^n$ , ceci quel que soit l'entier $n$ .

Posté par re : Fonction majorée 08-07-26 à 17:19

Merci.
Il y a un problème de lisibilité de certains objets mathématiques sur le site.
Et donc on ne peut lire facilement les posts.

Posté par re : Fonction majorée 08-07-26 à 17:34

Merci c'est bon c'est plus clair maintenant.

Posté par re : Fonction majorée 09-07-26 à 23:35

Bonjour,
On peut raisonner par l'absurde de cette manière :
Si M majore f sur ]1; +infini[ alors
Tout d'abord M > 1 car, par exemple, f(1,1) > 1.
Ensuite,
Si 1 < x < 1 + 1/(2M) alors 0 < x < 2 et 0 < x - 1 < 1/(2M)
D'où par produit puis inverse,
Si 1 < x < 1 + 1/(2M) alors f(x) > M.

Posté par re : Fonction majorée 10-07-26 à 01:05

Bonsoir et merci beaucoup.

Posté par re : Fonction majorée 10-07-26 à 01:14

Professeure 1 ne peut avoir d'image car il n'appartient pas au domaine de définition.
Mais je suis d'accord que f(x)>0 pour tout x de l'intervalle donné et donc dans notre hypothèse M>0 .

Posté par re : Fonction majorée 10-07-26 à 06:38