Fonction méromorphe et sphère de Riemann

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Fonction méromorphe et sphère de Riemann
Posté par 
AnneDu60  30-07-20 à 22:51
Bonsoir à vous  

Avant toute chose, la sphère de Riemann est l'espace topologique  avec  et   et  la topo euclidienne sur .

Dans mon cours, il est écrit ceci :  

"On dit qu'une fonction f définie sur le complémentaire d'un disque dans  est holomorphe en  si l'application  est holomorphe en 0."

Est-ce que ça veut exactement dire que :

Soient  et  une fonction.

Alors f est holomorphe en  ssi la fonction  admet un prolongement holomorphe sur tout  ? 

De même, il est écrit :

"On dit qu'une fonction f définie sur le complémentaire d'un disque dans  est méromorphe en  si l'application  est méromorphe en 0."

Est-ce que ça veut exactement dire que : 

Soient  et  une fonction.

Alors f est méromorphe en  ssi la fonction  n'admet pas de  prolongement holomorphe sur tout  et qu'en écrivant  sa série de Laurent, alors . ?
 Posté par 
AnneDu60re : Fonction méromorphe et sphère de Riemann  31-07-20 à 13:05
?
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Camélia re : Fonction méromorphe et sphère de Riemann  31-07-20 à 14:29
Bonjour

Oui aux deux questions.

L'idée est d'identifier l'espace topologique  avec la "vraie sphère"  munie de la topologie induite par . Le point  est en général identifié au pôle nord. Les définitions disent que tout se passe bien sur la sphère.
 Posté par 
AnneDu60re : Fonction méromorphe et sphère de Riemann  31-07-20 à 18:57
Bonjour  

D'accord, mais dans ce cas là je ne comprend  pourquoi il est écrit juste  

"Pour qu'une fonction  entière se prolonge en une fonction méromorphe sur  {}, il faut et il suffit que ce soit un polynôme". 

Ici, on veut prolonger une fonction f:   holomorphe. Donc ce prolongement est bien défini sur  {} ? 
 Posté par 
Camélia re : Fonction méromorphe et sphère de Riemann  01-08-20 à 15:57
Là quelque chose cloche! La fonction  n'est sûrement pas un polynôme, et elle se prolonge bien en une méromorphe avec pôle simple en 

Ce qui est vrai c'est que pour qu'une fonction se prolonge en une méromorphe, il faut et il suffit qu'elle soit la somme d'une holomorphe et d'un polynôme de Laurent (un nombre fini de coefficients )
 Posté par 
verdurinre : Fonction méromorphe et sphère de Riemann  01-08-20 à 16:13
Bonsoir,

d'un autre côté  n'est pas vraiment une fonction entière.
 Posté par 
Camélia re : Fonction méromorphe et sphère de Riemann  01-08-20 à 16:20
Non, bien sur que non! Elle est méromorphe!
 Posté par 
verdurinre : Fonction méromorphe et sphère de Riemann  01-08-20 à 18:50
J'ai été interrompu, mon message précédent est un peu trop court.

Si f est une fonction entière qui n'est pas un polynôme alors elle a une singularité  essentielle en .

C'est ce que dit la propriété : 
Citation :
Pour qu'une fonction  entière se prolonge en une fonction méromorphe sur  {}, il faut et il suffit que ce soit un polynôme

Mais une fonction holomorphe sur  privé d'un disque peut-être holomorphe sur  privé de ce disque.

Il me semble que c'est le cas de la fonction  en posant .
  Posté par 
Camélia re : Fonction méromorphe et sphère de Riemann  02-08-20 à 14:25
Là nous sommes d'accord!