Bonjour

La fonction réciproque de f est la fonction notée f^-1 définie telle que :


Cette réciproque n'existe que si f est bijective.

Il faut donc d'une part que tu montres que f est bijective et en suite que tu cherches telle que (en gros il faut que tu exprimes x en fonction de y)


Jord

Autant pour moi , c'est :



Jord

merci je vais essayer mais ca m'a l'air chaud

Ne reste pas sur un a priori


Jord

Je ne veux pas pinailler mais il faut également que

Sinon on a uniquement la réciproque (inverse) à droite.

Certes otto.

Je ne veux pas pinailler mais tu oublies de préciser l'ensemble de départ de l'identité _{je rigole bien sur}


Jord

j'ai trouvé ]-1;1[ comme intervalle et je pense que c'est bon.

Par contre je n'arrive pas a trouver la fonction réciproque...
Pour le moment j'en sui a ye^x+ye^-x=e^x-e^-x...Auriez vous une piste?

Qu'entends-tu par : " j'ai trouvé ]-1;1[ comme intervalle" ?

Je te montre le chemin :


<=>

<=>

<=>


à toi de continuer


Jord

Daccord j'ai compris pour l'intervalle j'avais mal lu l'énoncé désolé.

C'est bon alors pour ]-1;1[


Jord

Je pose X=exp(x) alors on trouve 1/X=exp(-x)
Notamment f(x)=(X-1/X)/(1+1/X)=((X-1)/X)/((X+1)/X)=(X-1)/(X+1)
Y=f(X)=(X-1)/(X+1) équivaut à YX+Y=X-1 (pour X différent de -1 mais c'est toujours vrai)
Notamment
YX+1+Y=X et 1+Y=X(1-Y) et finalement
X=(1+Y)/(1-Y)
En fait on pouvait le voir dès le début, sauf erreur.
Reste à conclure.
A+

Oui grosse erreur de ma part, j'ai oublié les carrés sur les X dès le départ.
IL suffit de tout reprendre en mettant les carrés.
A+

y a t il une identite remarquable du style a²-b² ici? ou alor c'est un mauvais chemin que je prend?ou peut etre faut il pour faire apparaitre les x utiliser ln?

ah ok otto merci

Les calculs d'otto sont les mêmes que les miens sauf qu'il rend la démonstration plus "lisible" en "enlevant" l'exponentielle.


Jord

oh excuse nightmare merci a toi aussi cauchemard

Je n'étais pas parti à la pêche à un merci j4p4n3ze en disant ça mais c'est gentil à toi tout de même de penser à moi


Jord

Pour la première question (mais qui ne sert pas à grand chose quand on regarde la deuxième question ) :
on a :
     dérivable sur
et pour tout réel :
    
donc est strictement croissante sur .
On a aussi :
    
    
donc réalise une bijection de sur

Bonjour

voila j'ai essayer de faire cette question comme avec l'autre

3°)soit f(t)=t3+t
Montrer que f admet une fonction réciproque; soit g cette fonction réciproque.Ainsi, pour tout réel x,(g(x))3+g(x)=x

donc la j'ai trouver y=t(t²+1)
mais apres je bloque.Je n'arrive pas a isoler les t sans le carré...Quelqu'un saurait comment faire svp?merci d'avance

Salut j4p4n3ze

Après t'être assuré(e) que la fonction soit bien bijective sur R,

Je trouve :

t = (1/3)( ((27y+(27(4+27y²))^(1/2) )/2  )^(1/3)+ ((27y-(27(4+27y²))^(1/2) )/2  )^(1/3) )

As-tu vu Cardan ?

les deux courbes, ci-dessous

Philoux

euh nan je n'ai pas vu cardan....Je pensais qu'il fallait trouver x=f(y) en quelque sorte

Re

donc la j'ai trouver y=t(t²+1)
mais apres je bloque.Je n'arrive pas a isoler les t sans le carré.

Effectivement, à partir de t³+t-y = 0, trouver t=g(y) consiste à résoudre cet équation par une quelconque méthode, celle de Cardan par exemple :



Peut-être y a-t-il une méthode plus astucieuse ?

Philoux

bah c'est vrai que ca m'a l'air compliqué

>j4p4n3ze 12:38

Je t'assure que c'est accessible aux premières (hormis l'utilisation des complexes pour les racines dans C)

Puis sur wiki, c'est bien expliqué

Philoux

j4p4n3ze>

Te demande-t-on de la calculer cette réciproque? d'aprés l'énoncé que tu nous a donné pas vraiment...


Jord

on me demande de le démontrer et après dresser le tableau de variation de la fction réciproque donc je pense qu'il faut la calculer

Pas vraiment, comme dit NM

Si tu connais le tableau de variation de f (courbe rouge de 11:49)

tu peux déduire celui de f-1 (la bleue de 11:49)

Effectivement, c'est anormal qu'on te demande l'expression donnée :

t = (1/3)( ((27y+(27(4+27y²))^(1/2) )/2  )^(1/3)+ ((27y-(27(4+27y²))^(1/2) )/2  )^(1/3) )

Philoux

Non, pas besoin de la calculer.

on a :


ici :

donc

et ainsi


On en déduit :
qui est positif quelque soit t


Jord

Ou encore on peut utiliser le fait que le graphe d'une fonction et celui de sa réciproque sont symétrique par rapport à la premiere bissectrice


Jord

Si tu as un difféomorphisme (ie f' existe f est bijective et f' jamais nul sur un intervalle I) alors les variations de la réciproque de f sont les mêmes que celles de f.
Je pense que c'est ce que vous essayez de faire dans ces dernières interventions n'est ce pas?
A+

Parler de difféomorphisme en terminale otto ça risque de l'embrouiller


Jord

>otto 15:33

En termes sûrement plus génériques mais néanmoins moins simple à saisir (pour nos/mon petit cerveau )

Philoux

Salut à tous les deux, le terme est barbare mais la définition est simple, c'est ce qu'il y'a entre paranthèses:
La fonction f est dérivable et bijective sur R, de dérivée strictement positive ou strictement négative.

ah d'accord c'est avec la dérivé que l'on trouve la réciproque ok merci a vous

otto

C'est canadien cette graphie de parenthèse ?

Tabarnak !

Philoux

"ah d'accord c'est avec la dérivé que l'on trouve la réciproque ok merci a vous" non pas vraiment, mais on peut trouver son sens de variation


Jord

Qu'est-ce qu'on dit d'un panecake tombé dans la neige avant le 31 Décembre ?

Bon je sors

t = (1/3)( ((27y+(27(4+27y²))^(1/2) )/2  )^(1/3)+ ((27y-(27(4+27y²))^(1/2) )/2  )^(1/3) )

la réciproque c'est sa?

ce n'est pas une fonction ça


Jord

Représentes-là, tu tomberas sur la courbe bleue, symétrique de la rouge/1ère bissectrice

Philoux

1/(3y²+1)

C'est cela?

de quoi me parles-tu j4p4n3ze

de g la fonction réciproque que je dois trouver

c'est

y->(1/3)( ((27y+(27(4+27y²))^(1/2) )/2 )^(1/3)+ ((27y-(27(4+27y²))^(1/2) )/2 )^(1/3) )

bah regarde a 16:16 quand je t'ai demandé si c'était ca tu ma répondu que ce b'était pas une fonction

Non , toi tu as écrit :

t = (1/3)( ((27y+(27(4+27y²))^(1/2) )/2 )^(1/3)+ ((27y-(27(4+27y²))^(1/2) )/2 )^(1/3) )

Et ça ce n'est pas une fonction, c'est une égalité


Jord

désolé je prie d'accepter mes excuses

tu n'as pas à t'excuser. Je chipote c'est vrai, mais la rigueur est un point important en mathématique


Jord

donc g(y)=(1/3)( ((27y+(27(4+27y²))^(1/2) )/2 )^(1/3)+ ((27y-(27(4+27y²))^(1/2) )/2 )^(1/3) )

c'est ca?

Oui mais tu n'es pas sencé la trouvé donc chut , ce sera notre secret


Jord