Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Master Maths [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Master Maths
Partager :

Fonction somme des diviseurs et nombres premiers

Posté par
Meiosis 04-12-23 à 13:51

Bonjour,

Je me casse la tête sur un problème depuis plusieurs mois, j'aimerais une aide svp merci. Voici l'énoncé de la conjecture.

---
Soit \sigma(n) la fonction des diviseurs qui effectue la somme des diviseurs d'un entier n > 1

Soit r le reste de la division euclidienne de \sigma(n+\sigma((n+1)+\sigma((n+2))) par n+1

Prenons les cas où r=6

On prouve assez facilement que r=6 quand n+2 et 4n+5 sont premiers.

Cependant il existe d'autres cas pour lesquels r=6. Par exemple avec n=17, n=6001 ou n=332861.

Le point commun entre ces exemples est que
\sigma(n+\sigma((n+1)+\sigma((n+2)))-1=5k  avec k > 1

La question est : comment prouver que \sigma(n+\sigma((n+1)+\sigma((n+2)))-1=5k quand r=6 et quand 4n+5 n'est pas premier.

Je vous remercie par avance.

Posté par
Meiosisre : Fonction somme des diviseurs et nombres premiers 04-12-23 à 13:59

Je vous informe que la conjecture a été testée pour 10k+1 (k un entier naturel) jusque 2^{19}

Posté par
jandri Correcteurre : Fonction somme des diviseurs et nombres premiers 04-12-23 à 19:00

Bonjour,

tel qu'il est l'énoncé n'est pas compréhensible.

Première chose à corriger : dans \sigma(n+\sigma((n+1)+\sigma((n+2))) il n'y a pas le bon nombre de parenthèses et il y a des parenthèses inutiles.

Posté par
Meiosisre : Fonction somme des diviseurs et nombres premiers 04-12-23 à 19:16

Bonjour jandri,

Merci, j'ai supprimé les erreurs de parenthèses.

Soit r le reste de la division euclidienne de \sigma(n+\sigma(n+1+\sigma(n+2))) par n+1
On considère les cas où r=6 .

Le reste est dans mon premier message.

Posté par
jandri Correcteurre : Fonction somme des diviseurs et nombres premiers 04-12-23 à 22:09

Merci pour cette correction mais cela ne va encore pas.

Ne faut-il pas ecrire "On prouve assez facilement que r=6 quand n+2 et 4n+9 sont premiers" à la place de "On prouve assez facilement que r=6 quand n+2 et 4n+5 sont premiers" ?

Posté par
Meiosisre : Fonction somme des diviseurs et nombres premiers 04-12-23 à 22:25

Effectivement !

Donc si on reprend l'énoncé le problème est le suivant

---
Soit \sigma(n) la fonction des diviseurs qui effectue la somme des diviseurs d'un entier n > 1

Soit r le reste de la division euclidienne de \sigma(n+\sigma(n+1+\sigma(n+2))) par n+1

Prenons les cas où r=6

On prouve assez facilement que r=6 quand n+2 et 4n+9 sont premiers.

Cependant il existe d'autres cas pour lesquels r=6. Par exemple avec n=17, n=6001 ou n=332861.

Le point commun entre ces exemples est que
\sigma(n+\sigma(n+1+\sigma(n+2)))-1=5k  avec k > 1

La question est : comment prouver que \sigma(n+\sigma(n+1+\sigma(n+2)))-1=5k quand r=6 et quand 4n+9 n'est pas premier.

Posté par
jandri Correcteurre : Fonction somme des diviseurs et nombres premiers 04-12-23 à 23:17

Je ne comprends toujours pas. Je suppose dans tous les exemples que n+2 est premier.

Pour n=11, 4n+9=53 est premier et \sigma(n+\sigma(n+1+\sigma(n+2)))=54
Pour n=17, 4n+9=77 est non premier et \sigma(n+\sigma(n+1+\sigma(n+2)))=96
Pour n=29, 4n+9=125 est non premier et \sigma(n+\sigma(n+1+\sigma(n+2)))=156
Pour n=35, 4n+9=149 est premier et \sigma(n+\sigma(n+1+\sigma(n+2)))=150
Pour n=41, 4n+9=173 est premier et \sigma(n+\sigma(n+1+\sigma(n+2)))=174

Dans tous ces cas on a bien r=6 mais cela ne donne pas toujours un résultat de la forme 5k+1.

Posté par
jandri Correcteurre : Fonction somme des diviseurs et nombres premiers 04-12-23 à 23:20

Je me rends compte en relisant que j'avais mal compris.
Effectivement quand 4n+9 n'est pas premier le résultat est bien de la forme 5k+1.
Je vais chercher pour voir si c'est démontrable.

Posté par
Meiosisre : Fonction somme des diviseurs et nombres premiers 04-12-23 à 23:58

Oui voilà c'est ça. L'énoncé est super simple mais la démonstration, si elle existe, doit être difficile.

Posté par
jandri Correcteurre : Fonction somme des diviseurs et nombres premiers 05-12-23 à 10:45

@Meiosis

Tu aurais pu donner l'énoncé sous une forme encore plus simple en posant p=n+2.

Soit p un nombre premier tel que 4p+1 ne soit pas premier.
On suppose que \sigma(4p+1)\equiv 6\pmod{p-1}
(ce qui est très rare, il n'y a que p=19,31,19531 pour p<10^7).

Montrer que \sigma(4p+1)\equiv 1\pmod5

Posté par
Meiosisre : Fonction somme des diviseurs et nombres premiers 05-12-23 à 11:52

D'accord, merci pour la reformulation du problème.
Maintenant ma question est : est-ce trivial ou difficilement démontrable (voire pas du tout) ?

Merci.

Posté par
Meiosisre : Fonction somme des diviseurs et nombres premiers 06-12-23 à 16:48

Bonjour,

Je fais un petit UP pour savoir comment démarrer la démonstration, au moins une piste, merci.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Fonction somme des diviseurs et nombres premiers 06-12-23 à 21:25

Bonsoir

Une preuve dans un cas particulier :

Je suppose que \Large\boxed{n+2~est~premier~~\underline{et}~~4n+9~est~une~puissance~de~5},

comme c'est le cas par exemple pour : n=29 , n=19529 , n=12207029 et n=305175779.

On a en effet en adoptant la formulation de jandri (que je salue !) :

\Large\boxed{p=n+2~~premier} et \Large\boxed{4n+9=4p+1=5^q~,~q\geqslant3}.

D'où, \Large\boxed{\sigma\left(n+\sigma(n+1+\sigma(n+2))\right)=\sigma\left(4p+1\right)=\sigma(5^q)=1+5+5^2+...+5^q}

et donc \Large\boxed{\sigma\left(n+\sigma(n+1+\sigma(n+2))\right)\equiv1~[5]}

et \Large\boxed{\sigma\left(n+\sigma(n+1+\sigma(n+2))\right)=6+5(p-1)\equiv6~[p-1]} sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
Meiosisre : Fonction somme des diviseurs et nombres premiers 06-12-23 à 21:54

Bonjour,

Merci bien pour cette aide elhor_abdelali !

Posté par
jandri Correcteurre : Fonction somme des diviseurs et nombres premiers 07-12-23 à 10:00

Bonjour,
merci à elhor_abdelali pour cette démonstration (dans un cas particulier).

Ce qui est remarquable c'est qu'à l'exception du cas p=19 toutes les valeurs que j'ai trouvées pour avoir p premier, 4p+1 non premier et \sigma(4p+1)\equiv 6\pmod{p-1} sont telles que 4p+1 est une puissance de 5.

Mais comme il y a une exception pour p=19 il peut très bien y en avoir d'autres pour p très grand.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Fonction somme des diviseurs et nombres premiers 07-12-23 à 14:31

Oui jandri, justement ce sont tes valeurs qui m'ont inspiré

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Fonction somme des diviseurs et nombres premiers 14-12-23 à 21:50

Bonsoir

Une preuve dans un autre cas particulier :

Je suppose que \blue\Large\boxed{n+2~est~premier~~\underline{et}~~4n+9~est~produit~de~deux~premiers~distincts}.

Dans ce cas on a \Large\boxed{4n+9=4p+1=ab~,~3\leqslant a<b}.

D'où \Large\boxed{\sigma\left(4n+9\right)=\sigma\left(4p+1\right)=\sigma(ab)=1+a+b+ab=6+a+b+4(p-1)}.

D'où \Large\boxed{\sigma\left(4n+9\right)\equiv 6~[p-1]~\Longleftrightarrow~a+b\equiv 0~[p-1]} qui s'écrit aussi \Large\boxed{ab-5~divise~4(a+b)}

et donc en particulier \Large\boxed{ab-5-4(a+b)\leqslant0} ou encore \Large\boxed{(a-4)(b-4)\leqslant21}.

D'où \red\Large\boxed{\left(a,b\right)=\left(7,11\right)} sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
jandri Correcteurre : Fonction somme des diviseurs et nombres premiers 14-12-23 à 22:19

Bonsoir elhor_abdelali,

je suis entièrement d'accord et j'avais d'ailleurs trouvé la même chose mais je ne suis pas allé plus loin dans les différents cas à envisager pour la factorisation de 4n+9.


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !