Pour x > 0
f(x) = x/(1 + (1/x))
f(x) = x²/(x+1)

f '(x) = (2x(x+1)-x²)/(x+1)²
f '(x) = (x²+2x)/(x+1)²

f '(2) = 8/9
f '(3) = 15/16

tg(x1) = 8/9
tg(x2) = 15/16

tg(x2-x1) = (tg(x2)-tg(x1))/(1+tg(x1).tg(x2))
tg(x2-x1) = ((15/16)-(8/9))/(1+(15/16).(8/9)) = 0,02651515151....
(x2 - x1) = arctg(0,02651515151) = 1,5188503974...°

L'angle cherché = 1,5188503974...°
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Saut distraction.  Vérifie les calculs.    

  Bonjour,
je bloque sur une question d'analyse de fonction.

Pouvez-vous m'aider à calculer le point de rebroussement, les extrema, le
point d'inflexion et le point anguleux de cette fonction.

f(x) = x*|1+ ( 1/x)| exposant moins un

Merci beaucoup. (c'est très important)

x doit être différent de 0 et de -1
Df: R/{-1 ; 0}

1 + (1/x) = (x+1)/x
1 + (1/x) > 0 pour x dans ]-oo ; -1[ U ]0 ; oo[
1 + (1/x) < 0 pour x dans ]-1 ; 0[

a)
Pour x dans ]-oo ; -1[ U ]0 ; oo[
f(x) = x/(1 + (1/x)) = x²/(x+1)
f '(x) = (2x(x+1)-x²)/(x+1)²
f '(x) = (x²+2x)/(x+1)²
f '(x) = x(x+2)/(x+1)²

f '(x) > 0 pour x dans ]-oo ; -2[ -> f(x) est croissante.
f '(x) = 0 pour x = -2
f '(x) < 0 pour x dans ]-2 ; -1[ -> f(x) est décroissante.

f '(x) > 0 pour x dans ]0 ; oo[ -> f(x) est croissante.

Il y a un maximum de f(x) pour x = -2, ce max vaut f(-2) = -4
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b)
Pour x dans ]-1 ; 0[
f(x) = -x/(1 + (1/x)) = -x²/(x+1)
f '(x) = -x(x+2)/(x+1)²
f '(x) > 0 pour x dans ]-1 ; 0[ -> f(x) est croissante.
-----
lim( x -> -1-) f(x) = -oo
lim( x -> -1+) f(x) = -oo
La droite d'équation x = -1 est asymptote verticale à la courbe
représentant f(x).

lim(x->0) f(x) = 0
La fonction f(x) peut être prolongée en 0 par f(0) = 0
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Pour x -> +/- oo, on a: f(x) = x²/(x+1) = x - 1 + [1/(x+1)]
lim(x-> +/-oo) [1/(x+1)] = 0 et donc:
La droite d'équation y = x - 1 est asymptote oblique à la courbe
représentant f(x) aussi bien du coté des x négatifs que du coté des
x positifs.
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Dérivée seconde de f(x):
a)
Pour x dans ]-oo ; -1[ U ]0 ; oo[

f '(x) = x(x+2)/(x+1)² = (x²+2x)/(x+1)²
f ''(x) = ((2x+2)(x+1)²-2(x+1)(x²+2x))/(x+1)^4
f ''(x) = ((2x+2)(x+1)-2(x²+2x))/(x+1)³
f ''(x) = (2x²+4x+2-2x²-4x))/(x+1)³
f ''(x) = 2/(x+1)³

f ''(x) < 0 pour x dans ]-oo ; -1[ -> la concavité de la
courbe représentant f(x) est tournée vers les y négatifs.
f ''(x) > 0 pour x dans ]0 ; oo[ -> la concavité de la courbe
représentant f(x) est tournée vers les y positifs.

b)
Pour x dans ]-1 ; 0[
f ''(x) = -2/(x+1)³
f ''(x) < 0 pour x dans ]-1 ; 0[ -> la concavité de la courbe
représentant f(x) est tournée vers les y négatifs.

Si on considère que la fonction f(x) est prolongée, en 0, il y a un
point d'inflexion dans la courbe représentant f(x) pour x =
0.
Mais comme f(x) n'existe pas en x = 0, c'est à toi de voir comment
tu traites cela avec ton prof.
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Sauf distraction.