Bonjour,
J'ai bien compris que l'on peut reformuler la loi de reciprocite quadratique de la maniere suivant: pour un corps quadratique, la fonction L d'Artin associe au symbole de Legendre "denominateur" est exactement la fonction L de Dirichlet associee elle aussi au symbole de legendre  mais "numerateur".

Seulement on voit aussi dire que la loi de reciprocite quadratique est equivalente a la factorisation
Avec K qui est le corps quadratique en question et le charactere de Dirichlet en question.

Il me vient une question, peut etre elementaire, mais je commence a peine a regarder ces objets. L'equation precedent implique ou cette fois la fonction L est celle d'Artin, est ce que cette chose la est simple a demontrer?

Une autre question, j'ai bien compris que la reciprocite d'Artin, si on la regarde uniquement sur Q, et pas sur un corps de nombre quelconque, dit que toute fonctions L d'artin est une fonction L de Dirichlet pour un certain charactere.
Est ce un hasard si ici le charactere qui apparait des deux cotes, est le meme charactere? Le symbole de legendre.

En fait en ecrivant ca je me rends compte que je ne suis pas sur d'avoir vraiment bien compris le premier point, sur la loi de reciprocite quadratique dans l'egalite entre la fonction L d'Artin et celle de Dirichlet, le charactere de Dirichlet sur le symbole de legendre "numerateur", soit.
Mais la representation Galoisienne pour la fonction L d'Artin c'est quelle representation? Vu que le groupe de Galois c'est Z/2, il y en a pas des masses... j'imagine qu'on voit le symbole d'artin comme un element du groupe de Galois, le Frobenius du nombre premier en question, du coup la representation c'est simplement
j'imagine?

Merci de votre aide!