Niveau Master Autre

Fonctions mesurables et espace produit

Posté par
hdci 02-11-23 à 12:09

Bonjour,
J'ai mis le niveau "Master Autre", mais peut-être n'est-ce pas le bon classement.

Je me pose une question sur ce cas :

Etant donnés $X$ un espace mesurable, $Y$ un espace topologique et $u_1,u_2,\cdots u_n$ des fonctions mesurables de $X\mapsto Y$ , la fonction $f:X\rightarrow Y^n$ définie par $f(x)=(u_1 (x),u_2(x),\cdots u_n (x))$ est-elle mesurable ? ( $Y^n$ est bien sûr muni de la topologie produit, engendrée par les pavés ouverts)

Je sais que c'est vrai si $Y=\R$ ou $Y=\C$ , avec la tribu usuelle. Je sais également que c'est vrai si tout ouvert de $Y^n$ peut s'exprimer sous la forme d'une réunion dénombrable de pavés ouverts.

Mais dans le cas général ? La démonstration pour le cas "réunion dénombrable" utilise le fait qu'une réunion dénombrable d'ensembles mesurables est mesurable dans $X$ , mais s'il y a des ouverts de $Y^n$ qui ne sont pas réunions dénombrables de pavés ouverts, la démonstration ne fonctionne plus.

D'où ma quetion : est-ce que c'est quand même vrai (avec quelle autre démonstration) ? Ou bien dispose-t-on d'un contre-exemple ?

Posté par re : Fonctions mesurables et espace produit 02-11-23 à 15:46

Ca dépend de la tribu que tu mets sur $Y^n$ .
Par exemple, si $\mathcal{F_i}, i \in\{1,\cdots,n\}$ sont des tribus sur $Y$ et que tu munis $Y^n$ de la tribu produit $\mathcal{F_1}\otimes\cdot\mathcal{F_n}$ , alors oui ça va marcher puisque la tribu produit est engendrée par les pavés $U_1\times\cdots\times U_n$ .
Mais en général, si l'espace n'est pas à base dénombrable ou séparable, il est faux que $\mathcal{B}(Y)^{\otimes n} = \mathcal{B}(Y^n)$
_{^{(par contre il y a une inclusion qui est vraie)}}

Posté par re : Fonctions mesurables et espace produit 02-11-23 à 15:48

Il y a des coquilles. C'est respectivement $\mathcal{F}_i$ et $\mathcal{F}_1\otimes\cdots\otimes\mathcal{F}_n$ , bien sûr

Posté par re : Fonctions mesurables et espace produit 02-11-23 à 18:00

En fait, ici je ne parle pas de tribu sur $Y$ ni sur $Y^n$ , mais uniquement de topologie, en utilisant la définition de W. Rudin d'une fonction mesurable "l'image réciproque de tout ouvert est mesurable"
(Ce qui est équivalent en fait à "l'image réciproque de tout mesurable, dans la tribu engendrée par la topologie, est mesurable").

Si les ouverts de $Y^n$ sont réunions dénombrables de pavés ouverts, le résultat est simple (pour chaque pavé $U_1\times\cdots \times U_n$ , l'image réciproque est l'intersection des $u_k^{-1}(U_k)$ donc mesurable, et la réunion dénombrable de tels ensembles sera mesurable).

Ce qui est le cas de $\R^n$ et de $\C^n$ .

Mais dans le cas plus général, si j'ai un ouvert $W\subset Y^n$ qui n'est pas réunion dénombrable de pavés ouverts, l'argument ne fonctionne plus.
Existe-t-il un exemple d'une telle situation (où l'image réciproque d'un tel $W$ ne serait pas mesurable) ?