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Généralité sur les fonctions numériques
Bonjour,
Exercice :
Soit , une fonction numérique .
1/ Montrer que Df=R, puis calculer f(- 1/2),
2/ a/ Montrer que f(x)
-1,
b/f admet-elle une valeur minimale sur R?
3 / Montrer que f est majorée par 1 sur I=]-
; - 1/2].
Réponses :
Df=R car 2x est un monôme donc son domaine est R.
D'autre part : le radicande est toujours positif pour tout x de R en passant par le discriminant du trinôme de seconde degré, il est négatif et le coefficient 4 est positif donc son domaine est R.
2. a) f(x)-(-1)= . Pour étudier son signe sur R, j'ai procédé comme suit :
On a : ,
Si c'est négative j'aurais -(2x+1) en supprimant la v.absolue +(2x+1) nous aurons un résultat nul.
Et comme : donc f(x)
-1.
Je voudrais savoir surtout si cette réponse 2)a. Est correcte ou il y a plus facile.
Merci par avance
Pardon .
Pour 2-b) f n'admet pas de valeur minimale car elle somme de fonction linéaire et fonction racine carrée.
J'ai eu des soucis avec cette question aussi.
Merci encore.
Merci. Mais je ne comprends pas comment je vais en déduire que le résultat est positif à la fin : f(x)-(-1).
Pardon.
e ne comprends pas comment je vais en déduire que le résultat est positif à la fin : f(x)-(-1).
Ne faut-il pas faire l'étude complète de la fonction?
C'est un peu bourrin, ma ça doit marcher. Non?
Bonsoir,
comme tu l'as remarqué.
On a donc bien .
Je crois que c'est la meilleure méthode.
Pour la question 2b ta justification est insuffisante.
On a
Ce qui permet de voir que et que
D'où la conclusion.
Pourquoi ne pas passer par le raisonnement par l'absurde pour prouver que pour tout x de R f n'a pas de valeur minimale.
Supposons que m est cette valeur minimale
i.e :
Quand tu écris tu écris que la fonction f est constante et égale à m.
Dire que f admet une valeur minimale peut s'écrire :
la négation est :
Une image :
On voit que la fonction ( en bleu ) est au dessus de la droite y=-1 ( en rouge ) mais qu'elle n'a pas de minimum.
Et si on veut faire simple :
Supposons que f prend une valeur minimale au point (x0 ; -1) i.e : f(x) >= f(x0).
Signifie que :
.
(Car )
Dans cette condition : on élève au carré et on obtient
C'est équivaut à 5=4 , c'est absurde.
Conclusion : la droite y=-1 est une asymptote horizontale à Cf donc -1 est un m'ignorant et non une valeur minimale de f.
Merci de me corriger.
Pardon minorant !
Le mot intrus au contexte est le système qui l'introduit par inattention de ma part.
Encore pardon.
Bonjour,
Tu a l'air d'insister à traiter 2) a) à l'aide d'un raisonnement par l'absurde. C'est faisable en utilisant correctement la notion de valeur minimale d'une fonction numérique à valeurs réelles :
Supposons que f admet une valeur minimale sur R. Donc
a 
R, 
x R , f(a) 
f(x).
Or f est strictement croissante sur R (à prouver) , donc f(a) f(a-1) < f(a). D'ou' f(a) < f(a) , ce qui est absurde.
Bonjour et merci .
C'était la réponse à 2. b); en 2.a) on avait montrer que f est minorée par -1.
Et là on montre que f n'a pas de valeur minimale donc y=-1 est asymptote horizontale à f.
Pour montrer que f est majorée par 1 sur ]-; -1/2] , j'ai déterminé le taux de variation de f ce taux est strictement positif donc donc f est strictement croissante.
( pour déterminer le signe de f'= taux d'accroissement, j'ai procédé de la même façon que pour répondre à la question 2.a)
Donc f est croissante et passe de y= -1 (=asymptote en - ) à 1 =f(-1/2) .
J'en conclus que sur I=]-; -1/2] 1 est majoration et valeur maximale relative .
Merci beaucoup .
Bonsoir,
Je voudrais une correction à propos de ma réponse à la question 3, postée le 3-11-24 à 16:51.
Le 5 ème à compter de ce post .
Merci beaucoup.
Bonjour,
Tu peux améliorer la rédaction de la réponse à la question 3) :
f étant croissante sur l'intervalle I , on a:
Pour tout x-1/2 , f(x)f(-1/2) ,(c.à.d f(x)1 ).
Donc f est majorée par 1 sur l'intervalle I.
Bonne journée.
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