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Geogebra encadrement d'intégrale

Posté par
Vivemaths
21-02-12 à 21:47

bonjour !


Je cherche à encadrer par géogébra une intégrale par la méthode des rectangles, c'est à dire avec des rectangles sous la courbe et des rectangles au dessus de la courbe,

je l'ai déjà vu en cour avec X² entre 0 et 1 et on observe une valeur qui tend vers 1/3

seulement là c'est avec 1/(1+t²) et je n'ai pas vraiment d'encadrement, j'ai entre 0 et n du coup, je dois encadrer cette intégrale et me rapprocher de /2 à 10^-2 près


quelqu'un a t'il une idée de ce que je dois faire s'il vous plait ?

pardonnez moi si je ne suis pas dans la bonne section, je ne sais pas trop où mettre ça !

Posté par
dhalte
re : Geogebra encadrement d'intégrale 21-02-12 à 22:50

\int_0^1\dfrac{\partial x}{1+x²}=\frac{\pi}4
donc l'encadrement consiste à choisir deux sommes de termes qui convergent vers cette valeurs, ces termes étant représentatifs de la surface de rectangles qui couvrent ou sont couverts par le graphe de \frac1{1+x²}
Geogebra encadrement d\'intégrale

ensuite, diminuer la largeur de ces rectangles permet de diminuer l'erreur entre la surface limitée par le graphe et celle des rectangles.

Il te suffit d'exprimer comment calculer les hauteurs des rectangles verts (pour une valeur approchée par défaut) et rouges (pour une valeur approchée par excès)

Posté par
Vivemaths
re : Geogebra encadrement d'intégrale 21-02-12 à 23:24

D'accord, ça c'est ce que l'on avait fait pour x^2, merci de me le reexpliquer car je ne savais plus le faire, si j'ai bien compris, je dois tester avec plusieurs entiers n pour trouver lequel me donne le meilleur encadrement (à 10^-2 près)

Pour le pas que je vais utiliser (largeur des rectangle) je met une valeur faible pour avoir la meilleure approximation possible ?

Pour le calcul de l'air je fais somme des b*h de chaque rectangle vert d'un côté rouge de l'autre ?

Il faut me reprendre si je fais une erreur !

Car là tu me montres de 0 à 1 et le sujet demande de 0 à n et donc de trouver /2 à 10^-2 près

Posté par
dhalte
re : Geogebra encadrement d'intégrale 22-02-12 à 05:49

il me semble que ton sujet fait la somme de 0 à 1 et n désigne le nombre de divisions de cet intervalle.

si tu t'imposes enfin de recopier précisément celui-ci, nous pourrons avancer sur des bases plus solides.

Posté par
Vivemaths
re : Geogebra encadrement d'intégrale 22-02-12 à 18:45

Salut,

j'ai demandé à mon prof aujourd'hui, il y avais une erreur dans l'énoncé, donc ce n'était pas de 0 à n comme je le prétendais mais uniquement de 0 à 1 découpé en n fois ! comme tu l'as dit dans ton premier post !


du coup la base des rectangles est de 1/n et la hauteur f(1/n) pour les rectangles verts et f(1/(n-1)) pour les rectangles rouges !


il me faut donc trouver une formule explicite de chaque suite !

Posté par
dhalte
re : Geogebra encadrement d'intégrale 22-02-12 à 19:14

pas tout à fait

il faut dans un premier temps considérer n comme une valeur constante, fixée le temps d'une évaluation.
le segment [0;1] est divisé en n segments, chacun ayant une largeur de 1/n

et les rectangles rouges (ceux qui englobent l'aire délimitée par le graphe) ont des hauteurs qui varient de f(0) à f((n-1)/n)

et les rectangles verts (ceux qui sont contenus dans l'aire délimitée par le graphe) ont des hauteurs qui varient de f(1/n) à f(1)

aire rouge :
\mathcal A_{sup}=\sum_{k=0}^{k=n-1}\frac1n f(\frac kn)

aire verte
\mathcal A_{inf}=\sum_{k=1}^{k=n}\frac1n f(\frac kn)

et l'aire délimitée par le graphe \mathcal A
\mathcal A_{inf}<\mathcal A<\mathcal A_{sup}
et l'erreur faite est majorée par la différence
\mathcal A_{sup} - \mathcal A_{inf}

cette majoration te permettra de répondre à la question :
quelle valeur minimale de n faut-il choisir pour encadrer l'aire à 10^-2 près
(c'est maintenant qu'on augmente n pour diminuer l'erreur faite)

la réponse est n>50

tout ceci n'est possible que parce que la fonction f est décroissante sur l'intervalle.

Posté par
Vivemaths
re : Geogebra encadrement d'intégrale 22-02-12 à 19:28

D'accord c'est un peut la même chose que ce que l'on avais vu sur la fonction x² mais je n'avais déjà pas très bien compris du coup je n'ai pas su le refaire !

Merci à toi !


par contre, ça c'est ce que je vais écrire en justification sur ma feuille en adaptant à la rédaction ultra perfectionniste de mon prof,

mais pour ce qui est de géogebra en lui même, est-ce que je peut utiliser cette notation avec ou est ce qu'il me faut une expression des deux suites ?

Posté par
dhalte
re : Geogebra encadrement d'intégrale 22-02-12 à 19:53

tu peux utiliser les instructions Sequence[] et Somme[] pour arriver au résultat, mais c'est déjà d'une utilisation avancée.

Posté par
Vivemaths
re : Geogebra encadrement d'intégrale 22-02-12 à 23:16

j'ai utilisé Somme[1/(1-x²),0,1,n,1/n]
et Somme[1/(1-x²),0,1,n,1/(n-1)]

Et en augmentant n je n'ai trouvé deux décimales exactes que pour n>53 du coup je ne sais pas si c'est moi qui ai fait une erreur ou si c'est ta valeur ? Je pense plutôt que c'est la mienne mais je ne vois pas l'erreur !

après j'ai essayé SommeSupérieure[1/(1-x²),0,1,n]
et SommeInférieure[1/(1-x²),0,1,n]

et en faisant grandir n, idem j'ai trouvé un autre résultat : n>55


je n'ai certainement pas compris quelque chose !

Posté par
Vivemaths
re : Geogebra encadrement d'intégrale 22-02-12 à 23:19

j'ai fait une erreur dans le recopiage par contre ! c'est (n-1)/n dans la seconde somme, mais c'est comme ce que tu avais dit dans le post au dessus !

Posté par
dhalte
re : Geogebra encadrement d'intégrale 23-02-12 à 08:37

Holà, cheval,
je cite ton premier message

Citation :
seulement là c'est avec 1/(1+t²)


je cite ton dernier message
Citation :
j'ai utilisé Somme[1/(1-x²),0,1,n,1/n]


ta fonction est \frac1{1+x²} et toi tu fais des sommes de \frac1{1-x²}

simple erreur de recopie ? Surtout que tu insistes lourdement, par 3 fois, sur cette formule. et que cette fonction diverge (et son aire aussi) quand x tend vers 1.

aire rouge :
\mathcal A_{sup}=\sum_{k=0}^{k=n-1}\frac1n f(\frac kn)=\frac1n\sum_{k=0}^{k=n-1}\frac1{1+k²}

aire verte
\mathcal A_{inf}=\sum_{k=1}^{k=n}\frac1n f(\frac kn)=\frac1n\sum_{k=1}^{k=n}\frac1{1+k²}

et l'aire délimitée par le graphe \mathcal A
\mathcal A_{inf}<\mathcal A<\mathcal A_{sup}
et l'erreur faite est majorée par la différence
\mathcal A_{sup} - \mathcal A_{inf}

or cette erreur est la différence de deux sommes de même terme général, donc ne restent plus dans la différence que les termes qui ne correspondent pas aux mêmes indices de la somme :
\sum_0^{n-1}-\sum_1^{n}=\sum_0^{0}-\sum_n^{n} car tous les autres termes, de 1 à n-1, étant dans les deux sommes, s'annulent

\epsilon=\mathcal A_{sup} - \mathcal A_{inf}=\frac1n\frac1{1+0²}-\frac1n\frac1{1+1²}=\frac1n(1-\frac12)=\frac12\frac1n

et si on veut obtenir la condition
\epsilon\le10^{-2}, on doit avoir n\ge\dfrac{10^{2}}2

et mes calculs indiquent bien pour n=50
0.790381496730813 - 0.780381496730813 \approx 0.01 à 15 décimales près.

et les fonctions que tu as utilisées SommeInf[] et SommeSup[], sont plus précises que mon propre calcul

0.790381496730813  -  0.780381527453201 \approx  0.009999969277612<0.01

j'utilise la formule
\sum \dfrac{f(\frac kn)}n
et la fonction intégrée SommeInf[] ou SommeSup[] utilise
\frac1n\sum f(\frac kn)

parce que, vois-tu, quand on fait un calcul théorique, on obtient la condition n\ge50
mais à condition que dans les sommes
aire rouge :
\red\mathcal A_{sup}=\sum_{k=0}^{k=n-1}\frac1n f(\frac kn)=\frac1n\sum_{k=0}^{k=n-1}\frac1{1+k²}

aire verte
\green\mathcal A_{inf}=\sum_{k=1}^{k=n}\frac1n f(\frac kn)=\frac1n\sum_{k=1}^{k=n}\frac1{1+k²}
on garde un nombre suffisamment grand de décimales.
si chaque terme est substitué par une valeur trop imprécise, par exemple si on ne garde, pour illustrer mon propos, que 3 décimales, alors la somme cumule ces imprécisions et le résultat final peut être très éloigné de la valeur théorique.

Donc une vraie approche en mathématiques appliquées doit aussi évaluer l'erreur faite quand on arrondit les termes de la somme, ce que doit nécessairement faire toute calculatrice. Elle ne peut garder un nombre infini de décimales...

\Large\red\boxed{\text{Dernière remarque :}}
la somme des termes approche \frac{\pi}4

si on veut une valeur approchée de \frac{\pi}2, il faut multiplier les valeurs obtenues par 2, et donc on double l'erreur !

la réponse à la question de l'énoncé est donc
il faut calculer au moins 100 termes (n=100) pour avoir un encadrement à 10^{-2} de \frac{\pi}2

Posté par
Vivemaths
re : Geogebra encadrement d'intégrale 23-02-12 à 20:28

bonsoir!

Merci de ta réponse très complète !


pour le 1/(1-x²) c'est bien une erreur que j'ai fait en recopiant sur le forum, sur geogebra j'ai tapé 1+x² !


En fait l'erreur que je faisait plus haut n'étais pas vraiment une erreur !
Je croyais qu'il fallait que j'ai deux décimales exactes dans mon encadrement donc 0,78...<A<0,78...
et ça ça n'arrive que à n>55 ! d'où mon erreur ! Alors qu'en fait il fallait soustraire les deux intervalles et donc là du coup je trouve la même chose que toi !



pour ce qui est de l'augmentation des erreurs en fonction des décimales oui mon prof me l'avais déjà expliqué lorsque l'on faisait des calculs sur excel, c'est vrai que le résultat peut devenir aberrant dépassé un certain rang !



en tout cas merci beaucoup ! C'est la touche finale de mon DM, hors barème mais ça prouve que j'ai voulu me bouger un peu pour comprendre quel était le but du DM !


Bonne soirée !



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