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Niveau seconde
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geometrie 2nd

Posté par bob (invité) 04-12-03 à 16:19

Hello si quelqu'un pourrait me donner quelques pistes pour ce
probléme ça serait trés gentil.
Soit un triangle ABC, I milieu de AC, J milieu de BC et S la Symétrie
de centre I.
1/ Construire le point D qui est l'image de B D=S( B)
                   le point K qui est l'image de J  K=S(J)
2/ Soit E l'intersection des droites (AC) et (BK). Demontrer que
(DE) coupe le segment (AB) en son milieu.
Je vous remercie par avance.

Posté par
watik
re : geometrie 2nd 04-12-03 à 19:39

Remarquez que ABCD est un parallélogramme. Car par construction ses
diagonales BD et AC ce coupent en leur milieu I. En effet, I est
le centre de symètrie.

Comme ABCD est un parallélogramme la droite IJ qui passe par son centre
à partir du point I milieu de BC coupe nécessairement AD en son milieu.
Ce milieu est le point K car I est le milieu de JK comme centre de
symétrie.

On a montrès jusqu'à maintenant que ABCD est un parallèlogramme
et que K est alligné avec A et D et il est leur milieu.

Considérons le triangle ABD.

K est le milieu de AD donc BK est la médiane du triangle ABD issue
de B.

I est le milieu de BD donc AI est la médiane du triangle ABD issue
de A.

Ces deux médianes se coupent en E par construction.

DE passent par le point d'intersection des médiane BK et AI c'est
donc la troisième médiane du triangle ABD. En effet, dans un triangle
les trois médianes se coupent en un seul point qui est ici E.

Comme DE est la médiane du triangle ABD issue de D donc elle coupe le coté
opposé AB en son milieu.

cqfd.

Je vous remercie.




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