Bonjour Mathafou

Le problème est intéressant mais il est clair qu'il va me manquer  des connaissances pour y répondre

Si j'ai bien compris tu as un hexaèdre dont les faces sont des quadrilatères et tu as choisi presqu'au hasard 3 d'entre elles partageant un sommet , il faut retrouver les 3 autres .

Comme je n'y vois rien je m'interroge sur le cas plus simple où les faces se suivent comme sur le schéma ci-dessous :


Il est clair qu'en général si on plie ce morceau de patron , les points A , B , C et D ne restent pas coplanaires . J'ai l'impression sans doute fausse que pour qu'ils restent coplanaires ,il faut que les droites (AB) et (CD) soient parallèles . Dans cette situation on perd bien sûr l'unicité de la solution mais on peut-être glaner quelques informations

Imod

le problème est avant tout que comme tu le dis on perd l'unicité
c'est pour ça que j'ai choisi des faces formant un trièdre.

de plus ton critère n'est pas obligatoire
par exemple (trivial, un simple prisme à base ABCD non rectangulaire)

les arêtes rouges ne sont parallèles ni sur le patron, ni une fois replié en prisme.

les "connaissances" nécessaires sont assez élémentaires
pas plus que ce qui est utilisé en lycée quand on trace sur une vue en perspective des sections de cubes
la seule difficulté est de bien comprendre ce qu'il se passe dans l'espace quand on plie / déplie un patron (le coup d'une porte pivotant sur ses gonds)

Bonjour,
J'espère qu'il y aura des clients....
Je pense à quelque chose comme ça...

il ne suffit pas d'assurer l'égalité des arêtes qui se confondent une fois replié !

par exemple K n'est pas "n'importe où" sur le cercle de centre A et de rayon AE avec comme seule contrainte que AK = AE
une seule position de K convient pour avoir un patron qui se replie vraiment en un solide réel dans l'espace
il existe au plus un seul solide réel dont le patron commence par les trois faces données.

en effet comme je l'ai dit la donnée des trois faces de départ implique la direction unique dans l'espace de la droite (AE)
donc la valeur unique de l'angle de cette droite avec la droite (AD)
c'est à dire de ton angle DAK
(et il n'a absolument aucune raison d'être égal à quelque autre angle que ce soit de la figure)

Nota : pour s'y retrouver il vaut bien mieux mettre des ' et des '' sur des noms uniques des 8 sommets du solide ABCDEFGH et rien d'autre plutôt que des I, J, K ...
comme j'ai fait dans mon exemple de patron du 26-06-24 à 11:45
quand on replie le patron F, F' et F'' sont confondus sur le sommet F du solide

Je n'ai pas étudié en détail la figure c'est pour ça que je dis "quelque chose comme ça ".
Par contre je ne suis pas "loin" d'avoir formé le solide...

En fait sur le solide il ne manque qu'un sommet qui est à l'intersection de 3 plans "concourants" ( je ne sais pas si ça ce dit ) . Il "suffit" de trouver ce point

Imod

dans l'espace, oui.
donc on pourrait passer du morceau de patron à une vue en perspective par exemple, puis de tracer sur cette vue en perspective le sommet manquant, puis de revenir au patron

ce n'est pas la méthode la plus efficace sur un solide "de guingois"
évident sur des parallélépipèdes, bien moins sur un solide quelconque de passer de patron à perspective ou vice versa
le mieux est de travailler directement sur le patron (le coup de la porte disais-je)

à dpi
le juge est effectivement la réalisation (très soigneuse) du patron en vrai et en bristol et de le replier soigneusement pour voir si ça colle exactement
mon solide de la photo réalisé en papier 80g d'imprimante est trop "mou" et trop petit pour être qualifié de "soigneusement".
et j'ai perdu l'habitude du véritable règle et compas de taupe où la moindre imprécision de tracé attirait les foudres du prof (à faire pleurer les filles)

Quand j'ai vu ton montage du départ , j'ai voulu faire pareil et bien
sûr j'obtiens un objet semblable qui ne mérite pas une photo

Oh si cela mériterait une photo !
tiens :

j'ai imprimé ta figure et collé sur une chute de bristol de fond de tiroir.
c'est vraiment la cata

déja en repliant les trois faces 1, 2, 3 on s'aperçoit que en repliant la face 4 le fond 1 devient gauchi. (donc avec du carton plus rigide, la face 4 ne se raccorderait pas à la face 3)
et ne parlons même pas de la face 5 qui ne va vraiment pas du tout
elle dépasse de la face 4 de 3cm
et pareil coté face 2 et il faudrait en plus gauchir cette face 5
quant à la face 6 ça n'a plus aucun rapport avec quoi que ce soit .

une erreur de 1mm passerait encore, mais là c'est carrément faux.
on ne peut absolument pas se permettre de placer les points au pif sur les cercles

quant à la définition d'une face par les seules longueurs de ses arêtes il est parfaitement clair que le quadrilatère obtenu est "articulé" ! (système des 3 barres)
il faut en plus déterminer soit un angle soit une diagonale.

donc même "à peu près" c'est totalement à revoir.

:o  je sais ,je ferai mieux la prochaine fois...

En regardant bien tes 3 faces données ne sont pas dans le même sens que le modèle ce qui perturbe...la petite base du trapèze du dessus doit avoir  F' et G inversés.

Sans prétention , j'ai essayé de voir ce qui se passait si on construisait le solide à partir des trois faces données sans bouger ABCD . Les points F et F' se rejoignent en S et si on note H sa projection orthogonale sur le plan ABCD ,  ABHS est une pyramide dont toutes les dimensions sont connues .
Imod

c'est vrai que ça perturbe de replier un patron "vers le bas" plutôt que vers le haut (idem pour ma photo de départ)
mais c'est pour avoir les faces visibles de l'extérieur plutôt que de regarder à l'intérieur pour avoir les noms

"l'inversion de points" est bien plus globale, juste il faut regarder tout l'ensemble dans un miroir.

si je retourne les plis (la colle n'était pas encore complètement sèche) ça donne :

et bien entendu très exactement les même défauts.
encore accentués par le retournement de plis sur eux mêmes.

le fond est tout aussi gauchi en voulant coller les faces 3 et 4 entre elles, la face 5 dépasse largement et ne se raccorde pas à la face 2
la face du dessus 6 à été pliée vers l'extérieur vu que de toute façon elle ne se raccorde à rien.

à Imod
oui, la clé est bien d'utiliser les projections des sommets sur la base ABCD !
et donc de savoir les construire directement sur le patron.

si un patron correct est donné c'est facile
ici il faut faire la construction à l'envers.

J'obtiens la projection des points E, F et G dans le plan ABCD de la façon suivante:

Soit et la projection de F sur AB et ABCD respectivement.

On a que , et sont sur une droite perpendiculaire à AB.
En faisant la même chose pour , on obtient à l'intersection des deux droites.

Pour , on a de plus que pour que ABFE soit coplanaire, .

On obtient ainsi et de la même façon .

Soit le 8eme sommet. Ces contraintes ne permettent d e déterminer qu'une droite sur laquelle se trouve. Il faut aussi rajouter la contrainte que E, F, G et H sont coplanaires.

Mais là je sèche  

Pour résumer le problème : le quadrilatère ABCD est donné ainsi que  les projections e , f ,  g des sommets E , F , G sur le plan ABCD et il faut retrouver le patron . On commence vaguement à deviner le truc



Imod

pas tout à fait

on donne les trois faces ABCD (le fond), ABFE et BCGF en vraies grandeur ( = sur un patron)
ll faut d'abord construire les points e, f, g, h (ils ne sont pas donnés !!) projections sur (ABCD) des sommets E,F,G,H du solide
c'est là qu'intervient le coup de la porte (le plan ABFE ou BCGE) qui pivotent autour de l'axe (AB) ou (BC)

ça donne donc une vue de dessus du solide

ensuite on pourra continuer pour obtenir les 3 faces manquantes (sur patron = en vraies grandeurs) à partir de ça et d'autres règles encore.

LittleFox a bien donné la construction des points e,f,g (edit : enfin presque)

pour h il est utile de construire l'intersection du plan de la face de dessus (EFGH) avec celui de la face du dessous (ABCD)
(c'est la droite de l'infini si elles sont parallèles)

Merci pour tes indices

Au lieu de garder des ratio constants on peut utiliser l'intersection des faces du dessus et du dessous.

En particulier, AB et EF et ef se croisent tous au même endroit ce qui permet de construire e.
De la même façon, on peut construire g.
Au passage, on a deux points de l'intersection de ABCD et EFGH, on peut donc tracer la droite d'intersection.

Ensuite, AD, E'H et eh se croisent sur cette dernière droite. On peut donc tracer eh.
De la même façon, on peut tracer gh. On peut donc tracer h.
On sait que hH est perpendiculaire à AD, on peut donc tracer hH et E'H pour obtenir H.
De la même façon, on obtient H'. Ou bien on peut tracer le cercle de centre D et de rayon |DH|. Magiquement, les deux points sont identiques

On a ainsi les 4 faces adjacentes à ABCD.

Il ne reste à tout recommencer pour avoir la face du dessus
On peut faire tourner deux des faces autour de l'une d'entre elles. Ici ABFE et CDH'G' on été déplacées autour de BCGF'.
Avec BCGF' comme face du dessous, on recommence pour compléter la dernière face.



Il y a beaucoup de traits
Les deux droites rouges pointillées sont les intersections des faces du dessous et dessus.
e, h, g, f sont les projections de E, H, G et F sur ABCD
a', d', h' et e' sont les projections de A, D, H et E sur BCGF'

Version géogébra avec laquelle vous pouvez jouez ici:

Il ne faut pas se perdre dans toutes les intersections

Je n'ai pas regardé la construction du point h maispour  e , f et g c'est relativement simple :



La droite (XY) est l'intersection des plans des deux faces (ABCD) et (EFGH) .

Imod

Oui
les deux idées clés sont bien
les perpendiculaires pour obtenir les projections des sommets
les intersections sur la droite d'intersection des faces supérieure et inférieure

pour la face du dessus, pour ma part j'avais construit en vraie grandeur la diagonale de cette face par un rabattement autour de la projection de cette diagonale = construction des hauteurs des deux points.

pour éviter de se perdre dans les traits de construction, dans ma propre applet j'ai mis un curseur entier définissant le numéro de l'étape, et je n'affiche que les traits et points correspondant à l'étape choisie

extrait = étapes 1 et 2

Je suis loin de travailler aussi vite que vous mais je suis arrivé aux mêmes conclusions

Une fois h construit on récupère en effet les deux faces adjacentes à ABCD qui manquaient . Pour la dernière face l'astuce de LittleFox est bluffante car elle n'utilise pas de nouvel outil mais charge encore un peu la figure . J'ai procédé comme Mathafou en positionnant deux faces sur deux côtés opposés de ABCD . Une figure annexe donne alors une diagonale de la face manquante à l'aide des projections eg ou fh et le reste est simple .

C'est un très bel exercice qui n'utilise que des outils élémentaires mais qui demande tout de même un peu de patience et beaucoup de précision .

Imod

J'ajouterai qu'il est très difficile de vérifier sa solution , on navigue à vue sans repère . La construction du patron peut repérer des erreurs flagrantes mais ne confirme vraiment pas la solution .

Imod

ma construction de la diagonale EG :



je construis les hauteurs KG (KG₁) par le triangle rectangle CKG₁ dans lequel KG₁ CG₁ est l'arête CG
idem de l'autre coté pour IE
puis je rabats le trapèze IKGE pour avoir GE (G₂E₂) en vraie grandeur.

Pas mal

Une fois les hauteurs construites, il n'y a qu'un pas pour passer en 3D  et vérifier la solution

La construction de la sixième face ne pose pas de problème avec l'ensemble des points déjà placés sur la face ABCD . Quand je parlais de la vérification du patron , je pensais à l'ensemble de la construction .
Imod

comme toute construction, la vérification est la vérification théorique du raisonnement qui a permis de l'imaginer
toute autre vérification (matérielle) ne permet que de détecter (parfois) des erreurs dans ce raisonnement ou des erreurs dans le tracé lui-même (se mélanger les pinceaux dans le fouillis de traits et de points)
que cette vérification se fasse en traçant physiquement le patron et en le repliant, ou sur un logiciel 3D ça reviendra un peu au même.
le logiciel 3D permet de répondre tout de même à des questions du genre "ces points sont ils vraiment coplanaires".

Ce que je voulais dire c'est qu'on n'avait aucun moyen de se rattraper aux branches avant l'étape finale en cas d'erreur et même après ....

Comme je fais énormément d'étourderies , j'aime bien avoir quelques balises

Imod

J'étais content que mes H et H' soient à la même distance de D à la fin C'était un test différent de la construction qui m'a bien rassuré

Géogébra m'a permis de jouer avec les points de départ pour tester quelques cas particuliers (parréllélipipède, prisme, pente des faces impossibles à construire, ...).

Ok, ce n'est pas une démonstration mais ça permet lever déjà pas mal de lièvres

lorsqu'on a des parallèles "fortuites" ou des points "fortuitement" confondus, la construction telle quelle échoue
ce qui donne autant de cas particuliers
à moins de considérer tout ça de façon projective avec des points "effectifs" à l'infini etc.

rappelons une astuce pour tracer une droite passant par un point P donné et "concourante" avec deux droites données lorsque le point d'intersection est "très loin" voire effectivement à l'infini