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Géométrie
Soit A et B deux points distincts du cercle (C). À tout point M de ce cercle, distinct des points A et B, on associe le point P de la demi-droite [MA) tel que MP=MB.
Déterminer l'ensemble des points P lorsque M décrit le cercle (C) privé des points A et B.
Je sais que M appartient à la médiatrice du segment [PB] mais à partir de là je ne sais plus quoi faire.
Besoin d'aide svp
***Forum modifié en fonction du niveau indiqué dans le profil***
salut
on peut remarquer rien n'interdit de prendre M = B et alors M = B = P
par contre il y a un (faux) problème si M = A
moi je dirais plutôt que P appartient au cercle de centre M et de rayon MB
et je t'invite à considérer aussi la médiatrice du segment [AB] et lorsque M appartient à celle-ci ...
Merci pour ton aide précieuse.
M est supposé être distinct des points A et B donc je ne comprends pas pourquoi tu supposes que M=B?
Bonjour,
une figure aurait été bienvenue.
extrait de 
la FAQ du forum :Q05 - Puis-je insérer une image dans mon message ? Comment faire ? Quelle image est autorisée ?
en tout cas
parce que on exclut B à tort.
il est particulièrement intéressant de se poser la question pourquoi l'énoncé exclut A et B
Quoi qu'il en soit :
d'une part le lieu est formé de deux morceaux disjoints selon que M appartient à l'un ou l'autre des arcs AB
en fait cela se regroupe si on considère la réunion des lieux de P et du symétrique P' de P par rapport à M (les deux points de la droite (MA) avec MP = MP' = MB)
que penses tu de l'angle AMB ?
et donc de l'angle APB ?
(dans chacun des deux cas, M sur le petit ou le grand arc AB)
Bonsoir
Une figure
En activant la trace de P, vous pourriez avoir des idées.
M n'est pas un point fixe, comment peut-on avoir un cercle de centre M
on peut toujours considérer un cercle (variable) de centre M
- pour construire la figure
- ou pour obtenir des propriétés de cette figure
ça ne veut pas dire que ce qu'on cherche est ce cercle là !
merci mathafou pour les compléments et je dirai même plus : on peut toujours considérer LE cercle trigonométrique et A le point de coordonnées (1, 0). (ou du moins sur les axes dans le cas d'une étude analytique)
le point M est alors libre sur ce cercle.
hekla : plutôt que la commande trace il existe un outil bien plus puissant : la commande lieu qui donne directement le résultat.
et pour compléter mon premier msg : quelle est la limite de la (demi-) droite (MA) lorsque M tend vers A ?
cette limite va apparaitre pour définir les points limites du lieu...
d'où l'intérêt de l'étudier. (sinon on va avoir du mal à le définir précisément, ce lieu)
Bonjour Sylvieg,
sans doute, mais pas sûr que ça serve.
moi je vois plutôt des angles (orientés ou pas) dans le coup
en deux ou quatre domaines distincts à étudier séparément. (forcément avec cet énoncé là)
mais c'est supérieur/autre (autre que maths ? donc math niveau lycée ?)
le changement de forum a-t-il égaré le demandeur ? il ne répond plus...
Bonjour 
Si mes calculs sont bons le lieu cherché est
la réunion de deux arcs de cercles d'extrémités et
de centres les deux points du cercle milieux des deux arcs
d'extrémités et
.
Bonjour,
Enfin une figure !
On pourrait y ajouter la tangente en au cercle
et éventuellement le cercle de centre
qui passe par
.
on peut remarquer que l'angle inscrit BMP = BMA est constant (suivant les deux arcs AB considérés) et que le triangle BMP est isocèle en M donc l'angle BPA est constant
or le lieu des points P tel que l'angle BPA est constant est un (arc de) cercle
donc le point P appartient à deux arcs (suivant l'arc AB considéré) de cercle d'extrémité B et passant par A
oui, avec quelques détails sur l'orientation des angles, c'est ce que j'avais imaginé dans mon premier message.
parce que avec des angles géométriques ("ordinaires"), il est nécessaire de le faire en 4 fois :
M sur
M sur
M sur
M sur
et de même pour les deux autres
on peut réduire à deux si on utilise des angles orientés de droites
ou si on utilise la similitude de Sylvieg
Effectivement mathafou je m'en suis persuadé analytiquement :
On munit le plan (complexe) d'un repère orthonormal tel que les points
,
,
,
et
aient respectivement les affixes ,
,
,
et
.
Avec les hypothèses de l'exercice on aboutit aux relations
et on voit clairement que
ce qui veut dire que lorsque le point se déplace (dans le sens positif) sur le cercle
en partant de
le point se déplace (dans le sens positif) sur le cercle de centre
et de rayon
en partant du point
le point atteint
quand
atteint le point
, puis atteint
en même temps que
.
Quand dépasse
le point
se déplace (dans le sens positif) sur le cercle de centre
et de rayon
repasse par
quand
atteint
puis atterrit sur le point
quand
termine son tour et arrive en
.
Bonjour,
Me voici de retour chez moi avec un vrai ordinateur
Une remarque :
Il est facile de démontrer que le point M est sur un des cercles de centre I ou J passant par les points A et B.
Les points I et J étant les points d'intersection de la médiatrice de [AB] avec le cercle (C).
Si les points M et I ne sont pas sur le même arc d'extrémités A et B, alors la droite (MI) est la bissectrice (intérieure) issue de M du triangle AMB.
La droite (MI) est donc aussi la bissectrice issue de M du triangle PMB.
Or ce triangle est isocèle en M ; la droite (MI) est donc la médiatrice de [BP].
D'où IB = IP.
Idem avec J
Ce n'est pas un nouvel ordinateur, loin de là : Il a près de 14 ans et toutes ses dents.
J'étais en déplacement
Bonjour,
Sylvieg m'oblige quasiment à parler de moi à la troisième personne. J'en suis désolé.
Et donc la "tangente de lake" est purement accessoire.
Le principal est la remarque de Sylvieg ici :
Il me semble que le triangle BMP reste semblable à lui même quand le point M décrit un des arcs AB.
où cette page du vieux grimoire prend subitement toute sa saveur :
En particulier ceci :
Deux cercles sécants se correspondent dans une similitude directe qui a pour centre l'un de leurs points communs, et la droite qui joint deux points homologues sur ces cercles passe par l'autre point commun.
Évidemment à adapter à l'exercice proposé en distinguant les deux cas de figure.
Mouais.
L'idée de Sylvieg sur la similitude, je l'avais comprise ainsi :
pour M dans un des deux arcs (AB) l'angle AMP = AMB est constant ("arc capable")
le triangle BMP étant isocèle et l'angle en M constant est donc constamment semblable, disons au triangle AJB (ou AIB) = un cas particulier de M en J (ou I) BMP ~ BJA (ou BIA)
par conséquent P se déduit de M par la similitude de centre B qui transforme J en A (ou I en A)
et donc le lieu de P est l'image de l'arc de cercle contenant M par cette similitude etc ( 
centre et extrémités de cet arc)
@lake
la "tangente de lake" est purement accessoire
@mathafou,
Je n'avais pas pensé à utiliser les images des points I et J par les similitudes.
A vrai dire, je m'étais contenté de trouver qu'on obtenait la réunion de deux arcs de cercle, sans trop savoir comment déterminer leur seconde extrémité.
Je faisais des figures à main levée, sans compas.
Pou( construire l'extrémité de l'arc , la similitude citée le donne aussi vu que BAC est l'image de BJA dans cette similitude (quand M est en B)
on en déduit que C est le symétrique de B par rapport à (MI)
ou d'autres constructions équivalentes.
sans faire intervenir le cas limite d'un angle inscrit avec une tangente.
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