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géométrie analytique
Bonjour
Une question de concours pour tester l'initiative des concurrents.
Définition: On appelle distance d'un point M à un segment [AB], la distance entre M et le point de [AB] le plus proche de M.
Donnée:On donne deux segments [OA] et [OB] pendiculaires en O tel que OA de longueur 2 et OB de longueur 4.
Question: Trouver dans le plan (AOB) l'ensemble des points équidistants des deux segments [OA] et [OB].
Bonjour tout d'abord je ne suis pas du tout sure de ce que je vais vous dire...Mais maintenant j'aimerai vraiment connaître la réponse !
Je vais essayer de le faire par disjonction de cas . Je considère x et y positifs.
L'ensemble des points équidistants des deux segments [OA] et [OB] est déjà la partie rouge faite sur le dessin (les points de coordonnées négatifs).
Dans le plan formé des points de coordonnées (-x, y ) et celui ( x , -y )il n'y en pas pas.
Ensuite dans le plan de coordonnées (x,y)je dirais la bissectrice intérieure des deux segments mais qui s'arrêterait au point H tel que A soit le projeté orthogonal de H sur (Ox).
Par exemple , je dois dire que je ne sais pas quelle est la distance de D ( sur votre dessin) au segment [OA].
Après je sais aussi qu'une parabole peut se définir comment étant l'ensemble des points M du plan tel que MF=MH où H est le projeté de M sur la directrice ( ici sur le segment [OB] )
Mais je ne vois pas trop comment faire cette partie de parabole. Et surtout je n'ai pas de point F et H fixé puisqu'en fait je travaille sur des segments.
Pourriez vous m'aider s'il vous plait?
J'espère ne pas avoir dit trop de bêtises...
Merci
Bonjour,
Le repère est inutile, mais permet de faciliter la partition du plan.
En raisonnant par "bandes":
Pour la bande des points telle que
La distance du point au segment
est
(puisque pour tout point
du segment
,
).
La distance du point au segment
est
où
est le projeté orthogonal de
sur
On cherche donc les points tels que
Il s' agit bien d' une portion de la parabole de foyer et de directrice
Bonjour merci beaucoup pour votre aide
( désolé je n'ai pas toujours accès à internet.)
Bonne journée
Re,
Une petite précision:
Le raisonnement de 13h02 est valable dans la bande pour
Dans la zone :
La distance de au segment
est
La distance de au segment
est
et on a (strictement)
si bien qu' aucun point de cette zone ne convient.
Bonsoir merci pour cette précision. Mais j'ai une interrogation du coup . Dans le plan x
0 et y
0 il n'y a bien aucune solution. Enfin, si la droite donc je préciserai donc dans le pan
? Merci
Dans le plan x
0 et y0 il n'y a bien aucune solution. Enfin, si la droite Je ne crois pas: il n' y a aucune solution tout court:
Si
La distance de
La distance de
et on a
Si
La distance de
La distance de
et on a encore
Bonjour oui c'est bien ce que je pensais. Et c'est ce que j'ai voulu dire dans mon mesage. Désolé si je me suis mal exprimée.
Mais tous les points M de coordonnées ( 0, -y ) avec y positif sont pour moi solutions car la distance deau segment
est
et la distance de
à
est
.
En tout cas merci beaucoup pour tes explications !
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