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géometrie - angles

Posté par
pppa
16-09-14 à 19:06

Bonjour

j'aimerais que vous m'aidiez à démontrer et à compléter ce que je ne trouve qu'empiriquement et probablement partiellement.

Enoncé :

Soient 3 points A, B et C, alignés dans cet ordre.
1/ Trouver le lieu géométrique des points M où l'on voit [AB] et [BC] sous le même angle
2/ Soit K le point de la droite (ABC) ; construire le point M' où l'on voit [AB] et [BC] et [CK] sous le même angle.

Voici comment j'ai traité la question 1.
Soit (b) la bissectrice intérieure d'un angle \widehat{AMC} passant par B, et (d) la bissectrice extérieure correspondante ; (d) coupe (ABC) en D.
Je sais (cours) que les points du cercle de diamètre BD, soit le diamètre formé des points d'intersection de (b) et (d) avec (ABC) est un lieu des points M où l'on a toujours \widehat{AMB}=\widehat{BMC}.
je l'ai vérifié sur la figure ci-dessous, en déplaçant M sur le cercle (de diamètre BD et de centre E).

géometrie - angles

Ce point M est tel que \dfrac{MA}{MC}= \dfrac{\bar{BA}}{\bar{BC}}= -\dfrac{\bar{DA}}{\bar{DC}}, donc tels que B et D soient conjugués harmoniques par rapport à A et C.

Donc connaissant A, B et C, je peux déterminer D en orientant la droite (ABC) ; de tout point M du cercle de diamètre BD (B et D exceptés) les droites (MB) et (MD) se coupent nécessairement à angle droit, et ce sont resp les bissectrices intérieures et extérieures de \widehat{AMC}.

Mais comment prouver que ce cercle vérifiant la condition demandée est unique ?
Puis comment en déduire la réponse à la question 2.

Merci par avance à celles ou ceux qui m'aideront à finaliser cette démonstration.

Posté par
pppa
re : géometrie - angles 17-09-14 à 18:42


merci

Posté par
Revelli
re : géometrie - angles 18-09-14 à 13:39

Bonjour,

Si on suppose que K est après C, on mène le même raisonnement pour les points B, C et K , ce qui donne un autre cercle

Les points M satisfaisants l'égalité des 3 angles seraient ceux correspondant à l'intersection des 2 cercles.

Bon courage

Posté par
mathafou Moderateur
re : géometrie - angles 18-09-14 à 14:44

Bonjour,

Citation :
"Je sais (cours)..."
il est unique (cours)
D est unique (un seul point de la droite (AB satisfait à \dfrac{\bar{BA}}{\bar{BC}}= -\dfrac{\bar{DA}}{\bar{DC}}), le cercle de diamètre BD est donc unique.


en vrai le lieu n'est pas le cercle cité mais la réunion de ce cercle et d'un morceau de la droite (AB), lieu des points d'où on voit AB et BC sous le même angle = 0.

Posté par
pppa
re : géometrie - angles 18-09-14 à 16:54

Merci pour vos réponses utiles et les subtilités qu'elles contiennent.

>> Mathafou : je suis maintenant sur l'autre exercice que j'ai posté (les tangentes à 2 cercles) pr lequel tu as eu également la gentillesse d'"intervenir ; je crois qu'en fait j'ai mal positionné les tangentes ; en ne considérant que les deux tagentes communes aux 2 cercles, on applique directement Thalès.....mais, je te propose qu'on en reparle dans le sujet ad hoc, je referai un schéma,ce sera plus parlant



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