Niveau exercices

Géométrie dans l'espace

Posté par
Kohle 29-09-25 à 14:40

Bonjour à tous,
J'ai présenté cet exercice "ailleurs". Curieusement il n'a pas suscité le moindre intérêt.
J'espère avoir plus de succès en en postant ici une version minimaliste :

Citation :
On considère deux droites de l'espace orthogonales et non coplanaires $d_1$ et $d_2$ .
Soit $A$ et $B$ deux points de $d_1$ .
Montrer qu'à tout point $M$ de $d_2$ on peut associer un point $N$ de cette même droite tel que les droites $(AM)$ et $(BN)$ soient orthogonales et préciser la correspondance $M\longleftrightarrow N$ .

Cette exercice a été posé au niveau lycée dans une version plus "détaillée" donc plus facile. Je l'avais trouvé intéressant.
Il n'est pas indispensable de blanquer.
Bonnes recherches

Posté par re : Géométrie dans l'espace 29-09-25 à 17:47

Bonjour,

sans perte de généralité, on peut mettre ça dans un repère ad-hoc simplifiant les calculs (d2=axe des abscisses, I sur l'axe des ordonnées) et aboutissant à OM.ON = Cte et par conséquent le point J de la figure est fixe

$Géométrie dans l\'espace$

Posté par re : Géométrie dans l'espace 30-09-25 à 12:39

Bonjour,
Le résultat :

Citation :
OM.ON = Cte

est correct mais manque de précision quant à la correspondance $M\longleftrightarrow N$ .
Il est préférable d'écrire :

$\overline{OM}.\overline{ON}=-\overline {IA}.\overline{IB}-IO^2$

Ceci dit, on peut arriver à ces résultats sans calculs cartésiens ...

Posté par re : Géométrie dans l'espace 03-10-25 à 13:27

Bonjour,
Les points $I$ et $O$ sont les intersections des droites $d_1$ et $d_2$ avec leur perpendiculaire commune.
On travaille dans le plan déterminé par le point $A$ et la droite $d_2$ .
- $H$ est la projection orthogonale de $B$ sur ce plan.
- $C$ est la projection orthogonale de $B$ sur $(AM)$ . On peut s'intéresser à son lieu (le cercle de diamètre $[AH]$ ).
- La droite $d_1$ et ses points $I,B$ sont rabattus dans le plan de la figure autour de la charnière $(AO)$ (magenta).
- On peut montrer que $H$ est l'orthocentre du triangle $AMN$ .
$Géométrie dans l\'espace$