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géométrie descriptive ; angle d'une droite avec 'un plan

Posté par
pppa
05-12-16 à 16:21

Bonjour

après avoir étudié et déterminé l'angle formé par une droite avec un plan par la méthode des rabattements selon une charnière horizontale (ou frontale le cas échéant) sur une épure, j'ai traité différents cas.

Un cas particulier me pose problème, celui de l'angle formé par la ligne de terre avec un plan déterminé par ses traces.

Pouvez-vous svp m'indiquer comment résoudre ce cas .

NB : je connais la réponse en utilisant géogébra 3D, mais je n'arrive pas à tracer l'angle (plus exactement son complémentaire) sur l'épure.

Merci par avance à qui me donnera une bonne explication

Posté par
lake
re : géométrie descriptive ; angle d'une droite avec 'un plan 05-12-16 à 17:35

Bonjour Philippe,

Une solution:

On choisit un point A(a,a') quelconque de la ligne de terre (projections confondues sur la ligne de terre)

On détermine la perpendiculaire (d,d') issue de A(a,a') au plan défini par ses traces P\alpha Q' (les projections de cette perpendiculaire sont perpendiculaires aux traces du plan).

On détermine l' intersection I(i,i') de cette droite avec le plan donné. (par exemple à l' aide d' un plan auxiliaire de bout projetant frontalement cette droite)

Reste à rabattre le triangle \alpha A I sur le plan horizontal de projection. (en pratique, seul le point I(i,i') est rabattu en i_1 et on obtient l' angle en vraie grandeur \widehat{a\alpha i_1}

L' épure suit si ce n' est pas clair...

Posté par
vham
re : géométrie descriptive ; angle d'une droite avec 'un plan 05-12-16 à 17:35

Bonjour,

Soit A le point commun aux traces du plan (P) sur la ligne de terre. Soit M un point de la ligne de terre et (Q) un plan passant par M et orthogonal à la ligne de terre.
Soit (D) la droite intersection des plans (P) et (Q).
Le point H, projection de M sur (D) est facile à déterminer par rabattement de (Q) sur une de ses traces.
Le plan (MAH) est orthogonal au plan P . le triangle MAH fournit en A l'angle cherché.
sauf à n'avoir pas bien vu....

Posté par
Priam
re : géométrie descriptive ; angle d'une droite avec 'un plan 05-12-16 à 17:38

Une méthode consisterait à mener d'un point de la ligne de terre une perpendiculaire au plan, laquelle perce celui-ci en un point. En reliant par une droite ce point au point d'intersection du plan et de la ligne de terre, on forme l'angle cherché, dont on peut obtenir la grandeur réelle par rabattement.

Posté par
vham
re : géométrie descriptive ; angle d'une droite avec 'un plan 05-12-16 à 17:40

Salut lake,

juste le temps de respirer après avoir écrit, et je viens juste au même moment, mais en second quand même...

Posté par
lake
re : géométrie descriptive ; angle d'une droite avec 'un plan 05-12-16 à 17:50

Bonjour à tous,

Des secondes oui, des minutes, peu importe: chacun apporte sa contribution

Posté par
vham
re : géométrie descriptive ; angle d'une droite avec 'un plan 05-12-16 à 18:46

Epure :

géométrie descriptive ; angle d\'une droite avec \'un plan

Posté par
pppa
re : géométrie descriptive ; angle d'une droite avec 'un plan 05-12-16 à 19:16

Merci à vous trois pour vos réponses.

Les méthodologies proposées par Lake et Vham semblent similaires, apparemment c'est sur le choix du plan auxiliaire que vous divergez.

>>Priam : tu développes l'idée première que j'avais, mais je ne sais pas trouver sur l'épure le point d'intersection de la perpendiculaire au plan menée par un point de la ligne de terre avec ce plan.

Si je reprends la méthode proposée par Lake , j'avais procédé comme tu indiques dans les deux premiers paragraphes ; ce que je ne parviens pas à visualiser et coinstruire, c'est le pal auxiliaire de bout ; sa trace  horizontale est perpendiculaire à la LdT, sa trace frontale est-elle choisie arbitrairement ? C'est là que je bloque.

Merci par avance pour tes précisions

Posté par
pppa
re : géométrie descriptive ; angle d'une droite avec 'un plan 05-12-16 à 19:18

>> Lake + Vham  ; n'ayant pas rafraîchi la page pendant que je cherchais et travaillais sur l'épure sur un autre ordinateur, je n'avais pas vu vos apports depuis 17 h 50 ; je regarde.

Merci

Posté par
Priam
re : géométrie descriptive ; angle d'une droite avec 'un plan 05-12-16 à 19:30

Ce point d'intersection peut se déterminer en faisant une coupe par le plan vertical dont la trace sur le plan horizontal est la projection sur ce plan de ladite perpendiculaire.

Posté par
pppa
re : géométrie descriptive ; angle d'une droite avec 'un plan 05-12-16 à 19:51

vham
Ta méthode est sûrement correcte, je trouve au centième de degré près, la même mesure d'angle que celle que j'ai déterminée en 3D.

Pour autant, je suis franc, pour l'instant, je n'ai pas tout compris,je veux dire je ne serais pas  capable de la réexpliquer par moi-même, mais ton épure et ta construction me sont de grande utilité pour y réfléchir plus avant.

Merci beaucoup

Posté par
vham
re : géométrie descriptive ; angle d'une droite avec 'un plan 05-12-16 à 21:03

Mon épure est juste :
le plan (P) est défini par ses traces en rouge.
le plan (Q) est le plan passant par M orthogonal à la LdeT.
L'intersection des plans (P) et (Q) est une droite (D)
Sur mon épure, le point vu en H,H' est l'intersection de (D) avec le plan (Q)  et non la projection de M sur le plan (P)
Pour avoir l'angle de la LdeT avec le plan (P) il suffit de tracer le segment AJ, pas besoin de tracer H et H'.
La construction est donc des plus simples : Choix de M, report de M sur les traces de (P),
un arc quart de cercle, un segment, projection de M sur ce segment et J par un arc de cercle !

Posté par
vham
re : géométrie descriptive ; angle d'une droite avec 'un plan 05-12-16 à 21:26

Je reprends car il y a une erreur dans mon explication de 21:03

Mon épure est juste :
le plan (P) est défini par ses traces en rouge.
le plan (Q) est le plan passant par M orthogonal à la LdeT.
L'intersection des plans (P) et (Q) est une droite (D)  
sur laquelle M va être projeté orthogonalement en H.
Alors le plan MAH sera orthogonal au plan (P)

Pour avoir l'angle de la LdeT avec le plan (P) il suffit de rabattre le segment MH en MJ sur le plan horizontal. sans avoir à visualiser H et H'.
La construction est donc des plus simples : Choix de M, report de M sur les traces de (P),
un arc quart de cercle, un segment, projection de M sur ce segment et J par un arc de cercle !

Posté par
pppa
re : géométrie descriptive ; angle d'une droite avec 'un plan 05-12-16 à 21:57


vham

Merci pour ces explications complémentaires

Citation :
Mon épure est juste :

Ca je n'en doute pas, de par la vérification "expérimentale' que j'ai faite

je reprends tex explications avec tes notations.
Je ne comprend pas comment tu détermines H ; M est sur la LdT, peux-tu stp me détailler comment tu détermines  ce point. Tu m'écris :

Citation :
La construction est donc des plus simples : Choix de M, report de M sur les traces de (P),
, mais sur l'épure je ne vois pas le report de M sur les traces de (P) ? Et donc je ne comprends toujours pas la construction de H ....

Posté par
lake
re : géométrie descriptive ; angle d'une droite avec 'un plan 05-12-16 à 22:08

La méthode de vham est très bien. Je reprends la mienne en la simplifiant.

On construit la perpendiculaire (ab,a'b') au plan donné passant par un point quelconque (a,a') de la ligne de terre. (Ses projections sont perpendiculaires aux traces du plan).

On rabat cette perpendiculaire dans le plan horizontal en (a,b_1)
L' angle \widehat{b_1a\alpha} est le complémentaire de l' angle cherché.

géométrie descriptive ; angle d\'une droite avec \'un plan

Posté par
pppa
re : géométrie descriptive ; angle d'une droite avec 'un plan 05-12-16 à 22:27

lake

Eh bien là c'est très clair .

Tu appliques la méthode que j'ai apprise avec une droite  et un plan quelconques, que j'ai su réappliquer avec un plan de bout  ou une droite frontale, mais avec la ligne de terre comme droite , bêtement je bloquais...

Merci bcp Pierre

Je note que Vham ne s'et pas servi des perpendiculaires aux traces du plan.

et merci à vous 3 pourle temps que vous m'avez consacré.

Posté par
vham
re : géométrie descriptive ; angle d'une droite avec 'un plan 06-12-16 à 01:22

report de M sur les traces de (P) : je veux dire que
sur mon épure la perpendiculaire en M à la ligne de terre coupe les traces de (P)

@ pppa : en partant de (AJ) j'ai naturellement tracé (sans le montrer)le pied K de la projection orthogonale de M sur le plan (P) en le plaçant bien sur la droite AH,
j'ai vérifié alors que les projections horizontales et frontales de (MK) étaient bien orthogonales aux traces de (P)

@ lake : si j'ai bien compris, la ligne b'bb1 peut naturellement se situer n'importe où tant que b' est sur la perpendiculaire issue de (a,a') à la trace frontale du plan PQ'. b' peut ne pas être à l'intersection, la direction ab1  restera fixe.

Posté par
lake
re : géométrie descriptive ; angle d'une droite avec 'un plan 06-12-16 à 09:45

>>vham

Tout à fait, j' avais utilisé un point existant pour surcharger le moins possible.
Une nouvelle épure avec l' angle de la ligne de terre et du plan en rouge:

géométrie descriptive ; angle d\'une droite avec \'un plan

Posté par
pppa
re : géométrie descriptive ; angle d'une droite avec 'un plan 06-12-16 à 21:48

Je n'oublie pas de vous remercier pour vos dernières explications. J'ai essayé de la refaire par moi-même, en gardant à l'esprit la méthode que je savais appliquer dans un cas quelconque.

Si je vous ai bien compris, de fait, dans ce cas particulier où c'est l'angle que forme la droite particulière qu'est la ligne de terre avec le plan PQ' qui est cherché,

- la ligne de rappel bb' est aussi support des traces horizontale et frontale du plan auxiliaire à utiliser pour la construction

- puisque la charnière horizontale de rabattement sur le plan horizontal est la ligne de terre,  b1 est nécessairement le symétrique de b' par rapport à la ligne de terre, et la construction intermédiaire de b0 n'est ici pas nécessaire,

ou bien....?

Merci en tout cas de partager vos connaissances et votre temps sur ce type de sujets peu traités

Posté par
lake
re : géométrie descriptive ; angle d'une droite avec 'un plan 06-12-16 à 22:10

Bonsoir Philippe,

Si c' est de mon épure dont tu parles, tu es dans l' erreur:

Le message de 17h35 est inutilement compliqué; on n' a pas besoin du point d' intersection I(i,i') de la perpendiculaire au plan et de ce plan. Et on n' a donc pas besoin de plans auxiliaires.

Regarde la dernière épure de 9h45.

D' un point (a,a') de la ligne de terre, on mène la perpendiculaire au plan donné P\alpha Q'. Ses projections sont en bleu sur la figure.

Sur cette droite, on choisit arbitrairement un point (b,b')

On rabat cette perpendiculaire dans le plan horizontal de projection avec pour charnière la ligne de terre.

Le point (a,a') sur la charnière est son propre rabattement.
Le point (b,b') est rabattu en b_1 avec une construction classique.

La perpendiculaire au plan est donc rabattue en ab_1

L' angle \widehat{b_1a\alpha} est l' angle que fait la ligne de terre avec la perpendiculaire au plan vu en vraie grandeur.

L' angle cherché est donc son complémentaire en \widehat{ab_1b}


Posté par
Priam
re : géométrie descriptive ; angle d'une droite avec 'un plan 06-12-16 à 22:19

Non, b1 n'est pas le symétrique de b' par rapport à la ligne de terre.
La droite b1b' coupe la ligne de terre en un point, disons le point x.
b'x n'est pas égal à xb1, mais à bb0, tandis que xb1 est égal à xb0, hypoténuse du triangle xbb0.
b'x est la cote du point B, et non pas sa distance à la ligne de terre.
Pour bien voir cela, on peut faire un croquis en perspective.

Posté par
pppa
re : géométrie descriptive ; angle d'une droite avec 'un plan 06-12-16 à 22:28

Bonsoir Pierre

je suis complètement d'accord avec tes explications que j'ai bien comprises.

Mon  message précédent ne met pas en évidence la dissociation que je fais entre l'utilisation du plan auxiliaire mentionné au début de la discussion d'une part, et la construction que j'ai refaite justement sans faire référence à un plan auxiliaire d'autre part, d'abord en suivant le cheminement complet, ensuite - et c'est là mon interrogation - en me passant de la construction intermédiaire du point b0, b1 étant le rabattement de b' avec conservation des angles du fait que la charnière de rabattement n'est pas décalée par rapport à la ligne de terre ; il n'y a donc plus de différence de cote bb0 à reporter, et dans ce cas précis on peut se passer de b0. Enfin, c'est la conclusion à laquelle je suis parvenu en analysant ce cas...

Raccourci à ne pas généraliser, si tant est qu'il soit pertinent ici ?

Je te souhaite une bonne soirée.

Posté par
pppa
re : géométrie descriptive ; angle d'une droite avec 'un plan 06-12-16 à 22:37

Au temps pour moi, tu as raison Priam, j'ai visualisé dans le plan et non pas dans l'espace.

Donc la construction intermédiaire de b0 reste bien indispensable quoi qu'il en soit

Posté par
lake
re : géométrie descriptive ; angle d'une droite avec 'un plan 06-12-16 à 23:09

Bonne soirée à toi Philippe; je vois que tu as bien compris

Posté par
vham
re : géométrie descriptive ; angle d'une droite avec 'un plan 07-12-16 à 18:28

Bonsoir,

Je suis curieux se savoir en quoi la géométrie descriptive est utile aujourd'hui pour pppa ?
C'était une de mes matières favorites quand elle était encore au programme, y compris en classes préparatoires, les dizaines d'années ont passé depuis...

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