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géométrie du triangle
Bonjour
pouvez-vous svp m'aider à avancer sur cet exercice :
Enoncé :
Soit R le rayon du cercle inscrit (Ci)dans un triangle ABC, et Ra le rayon du cercle exinscrit (Ce)dans l'angle A.
1/ Montrer que et que
, où
a désigne la mesure du côté BC
b désigne la mesure du côté AC
c désigne la mesure du côté AB
p désigne le demi-périmètre du triangle ABC
2/ En déduire que .
J'en suis à la question 1. Je sais que la bissectrice intérieure de l'angle A forme deux angles de mesure , qu'elle passe par les centres de Ci et de Ce, que j'appelle resp D et F sur mon schéma.
En considérant un des deux angles de mesure , par exemple
, Ci et Ce sont tangents à (AC) resp en K et L, donc [DK] et [FL] sont deux rayons resp de Ci et Ce, perpendiculaires à (AC) ; ls triangles AKD et ALF sont rectangles resp en K et L, et par définition (ds le triangle ADK) on a
, mais comment démontrer que AK = p-a, si tant est que je sois sur la bonne piste.
Merci par avance pour votre aide
soit M point de (BC) tangent au cercle inscrit
p = demi périmètre
p = 1/2 (2 AK + 2 CM + 2 BM)
or CM + BM = a
AK = p - a . Cela peut se démontrer en partageant chaque côté du triangle ABC en deux parties séparées par le point de contact du cercle inscrit, et en exprimant le périmètre 2p du triangle en fonctions de ces parties de côtés.
Bonsoir
Soient L le point de contact ( tangence ) du cercle inscrit (Ci) avec BC (a) et M le point de contact ( tangence ) du cercle inscrit (Ci) avec AC (c)
On a AK = AM , BM = BL , CK = CL car ...
or on a AK + KC + CL + LB + BM +MA = 2P
=>
2AK + 2CL + 2LB = 2p => AK + CL +LB = p
=>
AK + CB = p
=>
AK = p - a
A+
Bonsoir et merci pour vos aides, qui m'ont permis d' avancer.
Pour terminer la question 1 il me reste à établir que
sachant que pour démontrer cette dernière égalité, on rapporte à l'angle moitié de B le cercle exinscrit dans l'angle A ; d'où mon idée de faire des transformations sur les résultats antérieurs, les triangles rectangles dont un des côtés est Ra ne semblant pas pouvoir m'être utile dans ce cas.
Avez-vous une idée svp ?
Merci par avance
soit N le point de contact ( tangence ) du cercle exinscrit (Ce) avec (AB)
angle(BFN) = B/2
d'où BN = Ra * tg(B/2)
d'où tg(B/2) = BN / Ra
Pardon, ça y est, je viens de comprendre angle(BFN) = B/2
par contre, comment BN = p - c, pour l instant je ne vois pas, si vous pouviez m'éclairer svp ; merci par avance
Bonjour
En fait pour démontrer dans la question 1) en considérant le triangle ALF que tg(A/2) = Ra/p il faut montrer que AL = p
*
soient N le point de contact ( tangence ) du cercle exinscrit (Ce) avec (AB) et G le point de contact ( tangence ) du cercle exinscrit (Ce) avec (BC)
*
on a AB + BG + CG + AC = 2p (*)
or BG = BN et CG = CL
(*) devient BA + BN + AC + CL = 2p
=>
AN + AL = 2P
et comme AN = AL
il vient AL = AN = p
A+
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