Bonjour,

Je rencontre des difficultés pour résoudre un exercice de géométrie relatif aux propriétés caractéristiques des quadrilatères particuliers :

Soit ABC un triangle dont les sommets sont sur le cercle de diamètre [AB]. Soit D le point d'intersection entre le demi-cercle de diamètre [AB] ne contenant pas C et la médiatrice de [AB]. Soit E le projeté orthogonal de D sur (AC) et F le projeté orthogonal de D sur (BC).

1- Quelle est la nature du quadrilatère CEDF ? Justifier.
2- On suppose de plus que DA = 4 cm et que l'angle ABC mesure 75°. Faire une figure et calculer l'aire du quadrilatère CEDF dans ce cas.


Pour la première question :
Après avoir construit la figure, il me semble que le quadrilatère CEDF soit un carré. Mais je ne sais comment le démontrer.

Je peux d'abord démontrer l'existence d'au moins 4 angles droits dans le quadrilatère CEDF :
- Le triangle ABC a pour sommets A et B qui sont les extrémités du diamètre du cercle et le point C qui se trouve sur le cercle. Donc le triangle ABC est rectangle en C.
En effet, "si dans un cercle, un triangle a pour sommets les extrémités d'un diamètre et un point du cercle, alors ce triangle est rectangle en ce point".
Donc le quadrilatère CEDF présente au moins un angle droit au point C.

Aussi, d'après l'énoncé, E est le projeté orthogonal de D sur (AC) et F est le projeté orthogonal de D sur (BC). Donc le quadrilatère CEDF présente également deux angles droits aux points F et E.

=> Donc CEDF présente 4 angles droits.

Cependant, je ne sais comment justifier les 4 côtés égaux du quadrilatère CEDF faisant de lui un carré...

Merci par avance pour votre aide !