Bonjour,
il va falloir user les neurones...

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Bon,on a un carré 9X9 Avec 3 colonnes de 27  3 lignes de 27 et diagonales de 27.
L'aire d'un quadrilatère se calcule difficilement quand on connait les cotés.
Ici ce sont les dimensions des cotés que l'on cherche.
N'y a t-il pas au moins une donnée de plus genre un petit coté ou un angle?

Pour ce que j'ai cherché:

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Si on trace une grille 3x3 avec des lignes toutes parallèles et régulièrement espacées, les 4 lignes séparant le carré magique seront toutes des rotations des lignes parallèles de la grille autour de leur milieu, car c'est la seule manière de préserver l'aire = 27 d'un côté d'une ligne.
On peut aussi voir que l'on peut facilement fixer 3 valeurs indépendantes dans la grille:
On commence par fixer une droite encadrant 8.  On fixe ensuite la deuxième droite encadrant 8 de manière à obtenir une aire de 8.
On peut ensuite fixer les deux autres droites de manière à fixer 2 autres valeurs indépendants.
l'objectif étant d'arriver à en fixer une quatrième (les autres valeurs seront forcément juste dû à la somme des aires sur une ligne étant égale à 27.
Je pense qu'en étudiant la fonction obtenue en faisant varier l'angle de la première ligne que l'on fixe, on peut montrer via un théorème de la bijection que l'on pourra fixer une quatrième valeur. S'il est clair que la fonction sera continue, j'ai l'impression que l'on ne peut pas couper aux calculs. En effet, il faut s'assurer que les droites fixées vont bien d'un côté à l'autre (ce qui est probablement une histoire d'intervalle pour l'angle de la première droite fixée), et montrer que la fonction considérée passe par la quatrième valeur que l'on souhaite fixer.
J'ai pas encore plongé dans les calculs, mais ça ne m'a pas l'air si simple...

bonjour,
merci Imod pour ce nouvel exercice

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j'ai  remarqué  que les trapèzes f ormés par les quad rilatères  d'aires (8,5,12)  (6,11,10) ..........ont pour aire le tiers de l'aire du  carré  ,si a est le coté du carré
la demie somme de leurs bases est donc a/3
cela nous donne un point pour chaque droite cherchée si je ne me trompe pas mais  le  plus difficile reste à faire

Suite,
A moins d'une astuce géométrique je sens que Littlefox va nous sortir un algo

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J'ai tenté une approche en cotant le premier quadri  3.1 en haut et 2.4 à gauche .
Avec un "savant "mélange de Pythagore   de loi des sinus et autres..
J'obtiens ses deux autres cotés en vérifiant  bien 8 comme aire , puis  2 cotés opposés  et deux cotés tangents et ainsi la somme de deux cotés .
Par les angles on peut donc approcher  quelques cotés de plus mais....

Non, pas d'algo mais beaucoup d'algèbre et une réponse approximative.

J'ai trouvé deux solutions qui correspondent à a1 1.9 et a1 2.1 sur le dessin ci-dessous :

- J'ai d'abord remarqué que l'aire totale est 81 et donc le côté du grand carré est 9.
- Ensuite j'ai remarqué que les sommes de 3 aires alignées horizontalement ou verticalement vaut toujours 27. Et donc la somme des côtés opposés vaut 6. Par exemple a1+a2 = 6.
- De là j'ai pu calculer les coordonnées des points centraux en fonctions des côtés.
- En utilisant la formule de la surface d'un quadrilatère j'ai pu calculer x1 en fonction de a1 et de l'aire à obtenir. On obtient une fonction du second degré pas très jolie dont une seule des solutions est valide.
- Il reste donc une seule variable, en dessinant dans Géogébra et en la faisant varier j'obtiens mes deux solutions à 0.1 près.
Quand a1 = 2, l'aire dans le coin en haut à droite est > 12 et en dehors de [1.9,2.2] elle est < 12. Comme elle varie de manière continue il y a deux solutions.

Bien vu,
Ayant gardé mon modèle,j'ai vérifié pour les 4 quadris des 4 coins et les aires sont
correctes.
Comme  la disposition n'est pas symétrique ,je pense que c'est la solution avec toutefois la remarque que en optant pour une décimale  pour les cotes verticales on n'obtient pas
des cotes horizontales à une décimale.
Peut être qu'il y a une solution a une décimale partout

>Littlefox
Que donnerait la recherche dans l'autre sens ?

>dpi
En partant du coin qui vaut 12 pour trouver a1? Une équation à rallonges

Pour être plus précis, si tu veux t'y attaquer :

- Dans chaque coin d'aire A avec comme côtés a et b (par exemple (A,a,b) = (6,x1,a1) dans le coin en bas à gauche) on a :
- Et la somme des côtés opposés vaut 6. Par exemple x1+x2 = 6.

Ça fait 8 équations et 8 inconnues,

>Littlefox
Comme je te l'ai dit ta solution est sans doute unique tes surfaces sont retrouvées à
0.005 % près pour le Nord et 0.05 %  près pour le sud .Ma curiosité venait du fait que
les cotes verticales étaient privilégiées pour les décimales ,ce qui laisse supposer qu'en
paramétrant dans l'autre sens on inverserait cette particularité.

Bonsoir. Au départ, 4 inconnues suffisent. a1 donne a2, c1 donne c2, x1 donne x2 et z1 donne z2.

Bonjour à tous

Je suis un peu disparu des radars ces derniers temps ( j'ai été happé par un autre problème dont je vous parlerai ultérieurement ) , désolé pour la gène

Comme toujours FireFox a trouvé les solutions . J'ai procédé un peu différemment , ce qui m'a permis d'éviter Geogebra mais un logiciel de calcul est indispensable :



On a :

a=2,33919960 , b=2,11719408 , c=2,63831509 , d=1,85854707

a=2,61546715 , b=1,85528750 , c=2,39077781 , d=2,13462691

Les valeurs sont bien sûr approchées

Imod

Bonjour Imod

Au vu de tes solutions on constate que celle de Littlefox est assez proche de la première,
Cela veut-il dire qu'il y a d'autres solutions ???  et dans ce cas pourquoi ????

Non , il n'y a pas d'autre solution . LittleFox a seulement détaillé la première aux incertitudes près de son logiciel . J'ai donné la deuxième et je fournirais une solution complète dès que j'aurai fini de la rédiger .

Imod

salut

j'ai suivi de loin et je suis curieux de voir une solution complète et exacte ... donc merci par avance

en particulier une question : le pb n'impose-t-il pas que l'aire du quadrilatère central est 9 ? et comment le prouver ?

les symétries du carré (par rapport aux médiatrices ou au diagonales) impliquent qu'il y a au moins deux solutions dès qu'on en a une :

la symétrie par rapport aux médiatrices échange les "lignes" ou les "colonnes" de quadrilatères
la symétrie par rapport aux diagonales permute "lignes" et "colonnes" de quadrilatères

j'aurai tendance à dire que cet argument devrait permettre de répondre à ma question

et doit aussi justifier que l'aire de chaque "ligne" ou "colonnes" de quadrilatère est 27

...

@Carpediem :

De simples arguments géométriques répondent à toutes tes questions mais pas aux principales  

J'ai dit que j'avais une réponse complète mais pas "exacte" , nuance

Imod

LittleFox a beaucoup "remarqué !!!

en particulier la justification du 27 permettra de justifier le 6 : la somme des côtés opposés de chaque ligne et colonne est 6 (il y a même équivalence)

parce que si on admet le 27 (ou le 6) alors un calcul formel donne la réponse !!!

ton graphique montre quatre inconnues a, b, c et d

calcul formel de l'équation des quatre droites
calcul formel de leur points d'intersection
calcul formel de l'aire des quadrilatères (avec la formule du futé renard)
calcul formel de la résolution d'un système sous la contrainte des aires données

salut,
Xcas echoue sur la resolution exacte
et donne 2 quadruplets a,b,c,d approches compatibles avec la figure:
[[2.33919960705,2.1219407989,2.63831508933,1.88085572078],[2.61546715734,1.85528750929,2.3905277812,2.13462691282]]

carpediem
Le fait que le 9 soit au milieu vient du fait que le seul carré magique 3x3 contenant les chiffres de 1 à 9 possède un 5 au milieu.
Cela est du au fait que parmi toutes les possibilités d'écrire une somme de 3 chiffres différents entre 1 et 9 faisant 15 (constante magique), le 5 est le seul qui apparait 4 fois (nécessaire pour la ligne, la colonne et les deux diagonales)

Les seuls carrés magiques contenant les chiffres de 5 à 13 sont les "translations" du carré magique 1-9. En retirant 4 à chaque case, on obtient un carré magique 1-9. 9 est donc au milieu.

Pour la résolution du problème, pour moi, c'est déjà fait, comme la dit Littlefox, une fois qu'on a plus qu'une variable, comme la fonction est continue, les deux solutions se démontrent par théorème de la bijection. Il suffit juste de vérifier qu'on à le bon intervalle, ce qui est déjà fait...

Merci  à alb12 de donner deux solutions, dont l'une est exactement la même que celle
de Imod par contre la deuxième est différente ,et toujours la version de Littlefox
elle aussi différente.
Comme le dit carpediem il va bien falloir trancher.

Pour info ,
Comme j'ai fait un vérificateur par surfaces,je peux dire que la version de alb12 est bonne
par contre celle de imod  donne  pour aire  en haut  à gauche   7.954
la bonne cote serait donc  1.88.... et non 1.858... sauf erreur

pour mes 2 quadruplets les 9 aires sont (en enroulant dans le sens trigo):
5.99999999863,11.000000002,9.99999999937,4.99999999867,12.000000002,6.999999998,8.00000000005,13.0000000013,9.00000000001
et
6.00000000121,10.9999999979,10.0000000008,5.00000000115,11.999999998,7.00000000208,7.99999999991,12.9999999989,8.99999999997

>alb12
Je trouve comme  toi  avec tes cotes  (what else) ,on peut donc dire que Littlefox  s'est
approché et que imod a du faire une erreur de recopie pour son 1.858.

A  noter que le trapèze central d'aire 9 voit ses cotés passer par les milieux  des obliques
(4.5 )

weierstrass : certes... effectivement mais je n'ai pas pensé en terme de carré magique mais en terme géométrique : longueur et aire ... et symétrie du carré ...

si on impose que les valeurs des aires forment un carré magique alors ce 9 est évident comme tu le prouves ... (ainsi que (la dispositions) les autres valeurs d'ailleurs (à symétrie près))

J'ai en effet fait une erreur en recopiant les décimales .

Imod

Bonjour,

Xcas peut utiliser la formule de l'aire d'un quadrilatère de coin dont les cotés sont a et b

et en donner b exact en fonction de a et de l'aire s :

Bonjour,

Pas eu le temps d'aperçu , Poster parti trop vite. CORRECTIF :


On peut donc ajouter des décimales ...

ce lien est peut etre interessant ?

J'aime beaucoup la méthode de Donald Walter Trump expliquée ici :

Imod

Effectivement,
Je suis content de voir que les points rouges correspondent à ma remarque du 13/05 à
15h50 (en me relisant j'ai écrit trapèze au lieu de quadrilatère ).