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Géométriquement Magique

Posté par
Imod
05-05-19 à 18:46

Bonjour à tous

Un très joli problème de Michel Lafond :

Justifier l'existence d'un carré "magique" pouvant être partagé par 4 segments en 9 quadrilatères dont les aires sont exactement  5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.

Géométriquement Magique

Imod

Posté par
dpi
re : Géométriquement Magique 08-05-19 à 11:58

Bonjour,
il va falloir user les neurones...

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Posté par
weierstrass
re : Géométriquement Magique 08-05-19 à 12:32

Pour ce que j'ai cherché:

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Posté par
veleda
re : Géométriquement Magique 08-05-19 à 14:35

bonjour,
merci Imod pour ce nouvel exercice

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Posté par
dpi
re : Géométriquement Magique 08-05-19 à 15:45

Suite,
A moins d'une astuce géométrique je sens que Littlefox va nous sortir un algo

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Posté par
LittleFox
re : Géométriquement Magique 08-05-19 à 16:09


Non, pas d'algo mais beaucoup d'algèbre et une réponse approximative.

J'ai trouvé deux solutions qui correspondent à a1 1.9 et a1 2.1 sur le dessin ci-dessous : Géométriquement Magique

- J'ai d'abord remarqué que l'aire totale est 81 et donc le côté du grand carré est 9.
- Ensuite j'ai remarqué que les sommes de 3 aires alignées horizontalement ou verticalement vaut toujours 27. Et donc la somme des côtés opposés vaut 6. Par exemple a1+a2 = 6.
- De là j'ai pu calculer les coordonnées des points centraux en fonctions des côtés.
- En utilisant la formule de la surface d'un quadrilatère 2A = |(x_1-x_3)(y_2-y_4)|+|(x_2-x_4)(y_1-y_3)| j'ai pu calculer x1 en fonction de a1 et de l'aire à obtenir. On obtient une fonction du second degré pas très jolie dont une seule des solutions est valide.
- Il reste donc une seule variable, en dessinant dans Géogébra et en la faisant varier j'obtiens mes deux solutions à 0.1 près.
Quand a1 = 2, l'aire dans le coin en haut à droite est > 12 et en dehors de [1.9,2.2] elle est < 12. Comme elle varie de manière continue il y a deux solutions.

Posté par
dpi
re : Géométriquement Magique 08-05-19 à 18:33

Bien vu,
Ayant gardé mon modèle,j'ai vérifié pour les 4 quadris des 4 coins et les aires sont
correctes.
Comme  la disposition n'est pas symétrique ,je pense que c'est la solution avec toutefois la remarque que en optant pour une décimale  pour les cotes verticales on n'obtient pas
des cotes horizontales à une décimale.
Peut être qu'il y a une solution a une décimale partout

Posté par
LittleFox
re : Géométriquement Magique 09-05-19 à 07:36

dpi @ 08-05-2019 à 18:33

[... ]
Peut être qu'il y a une solution a une décimale partout


Vu les racines carrées, ça m'étonnerait qu'il y ait une solution rationnelle.
Mes réponses ne sont que des approximations en bougeant le curseur dans Géogébra.

Posté par
dpi
re : Géométriquement Magique 09-05-19 à 08:06

>Littlefox
Que donnerait la recherche dans l'autre sens ?

Posté par
LittleFox
re : Géométriquement Magique 09-05-19 à 09:07

>dpi
En partant du coin qui vaut 12 pour trouver a1? Une équation à rallonges

Posté par
LittleFox
re : Géométriquement Magique 09-05-19 à 09:26


Pour être plus précis, si tu veux t'y attaquer :

- Dans chaque coin d'aire A avec comme côtés a et b (par exemple (A,a,b) = (6,x1,a1) dans le coin en bas à gauche) on a : 2A((6-2a)(6-2b)-81) = 9((a+b)(2ab-9a-9b)+3(a²+b²))
- Et la somme des côtés opposés vaut 6. Par exemple x1+x2 = 6.

Ça fait 8 équations et 8 inconnues,

Posté par
dpi
re : Géométriquement Magique 09-05-19 à 15:05

>Littlefox
Comme je te l'ai dit ta solution est sans doute unique tes surfaces sont retrouvées à
0.005 % près pour le Nord et 0.05 %  près pour le sud .Ma curiosité venait du fait que
les cotes verticales étaient privilégiées pour les décimales ,ce qui laisse supposer qu'en
paramétrant dans l'autre sens on inverserait cette particularité.

Géométriquement Magique

Posté par
derny
re : Géométriquement Magique 09-05-19 à 21:32

Bonsoir. Au départ, 4 inconnues suffisent. a1 donne a2, c1 donne c2, x1 donne x2 et z1 donne z2.

Posté par
Imod
re : Géométriquement Magique 12-05-19 à 12:06

Bonjour à tous

Je suis un peu disparu des radars ces derniers temps ( j'ai été happé par un autre problème dont je vous parlerai ultérieurement ) , désolé pour la gène

Comme toujours FireFox a trouvé les solutions . J'ai procédé un peu différemment , ce qui m'a permis d'éviter Geogebra mais un logiciel de calcul est indispensable :

Géométriquement Magique

On a :

a=2,33919960 , b=2,11719408 , c=2,63831509 , d=1,85854707

a=2,61546715 , b=1,85528750 , c=2,39077781 , d=2,13462691

Les valeurs sont bien sûr approchées

Imod

Posté par
dpi
re : Géométriquement Magique 12-05-19 à 15:03

Bonjour Imod

Au vu de tes solutions on constate que celle de Littlefox est assez proche de la première,
Cela veut-il dire qu'il y a d'autres solutions ???  et dans ce cas pourquoi ????

Posté par
Imod
re : Géométriquement Magique 12-05-19 à 16:03

Non , il n'y a pas d'autre solution . LittleFox a seulement détaillé la première aux incertitudes près de son logiciel . J'ai donné la deuxième et je fournirais une solution complète dès que j'aurai fini de la rédiger .

Imod

Posté par
carpediem
re : Géométriquement Magique 12-05-19 à 17:52

salut

j'ai suivi de loin et je suis curieux de voir une solution complète et exacte ... donc merci par avance

en particulier une question : le pb n'impose-t-il pas que l'aire du quadrilatère central est 9 ? et comment le prouver ?

les symétries du carré (par rapport aux médiatrices ou au diagonales) impliquent qu'il y a au moins deux solutions dès qu'on en a une :

la symétrie par rapport aux médiatrices échange les "lignes" ou les "colonnes" de quadrilatères
la symétrie par rapport aux diagonales permute "lignes" et "colonnes" de quadrilatères

j'aurai tendance à dire que cet argument devrait permettre de répondre à ma question

et doit aussi justifier que l'aire de chaque "ligne" ou "colonnes" de quadrilatère est 27

...

Posté par
Imod
re : Géométriquement Magique 12-05-19 à 18:37

@Carpediem :

De simples arguments géométriques répondent à toutes tes questions mais pas aux principales  

J'ai dit que j'avais une réponse complète mais pas "exacte" , nuance

Imod

Posté par
carpediem
re : Géométriquement Magique 12-05-19 à 19:03

LittleFox a beaucoup "remarqué !!!

en particulier la justification du 27 permettra de justifier le 6 : la somme des côtés opposés de chaque ligne et colonne est 6 (il y a même équivalence)

parce que si on admet le 27 (ou le 6) alors un calcul formel donne la réponse !!!

ton graphique montre quatre inconnues a, b, c et d

calcul formel de l'équation des quatre droites
calcul formel de leur points d'intersection
calcul formel de l'aire des quadrilatères (avec la formule du futé renard)
calcul formel de la résolution d'un système sous la contrainte des aires données

Posté par
alb12
re : Géométriquement Magique 12-05-19 à 22:23

salut,
Xcas echoue sur la resolution exacte
et donne 2 quadruplets a,b,c,d approches compatibles avec la figure:
[[2.33919960705,2.1219407989,2.63831508933,1.88085572078],[2.61546715734,1.85528750929,2.3905277812,2.13462691282]]

Posté par
weierstrass
re : Géométriquement Magique 13-05-19 à 00:11

carpediem
Le fait que le 9 soit au milieu vient du fait que le seul carré magique 3x3 contenant les chiffres de 1 à 9 possède un 5 au milieu.
Cela est du au fait que parmi toutes les possibilités d'écrire une somme de 3 chiffres différents entre 1 et 9 faisant 15 (constante magique), le 5 est le seul qui apparait 4 fois (nécessaire pour la ligne, la colonne et les deux diagonales)

Les seuls carrés magiques contenant les chiffres de 5 à 13 sont les "translations" du carré magique 1-9. En retirant 4 à chaque case, on obtient un carré magique 1-9. 9 est donc au milieu.

Pour la résolution du problème, pour moi, c'est déjà fait, comme la dit Littlefox, une fois qu'on a plus qu'une variable, comme la fonction est continue, les deux solutions se démontrent par théorème de la bijection. Il suffit juste de vérifier qu'on à le bon intervalle, ce qui est déjà fait...

Posté par
dpi
re : Géométriquement Magique 13-05-19 à 14:22

Merci  à alb12 de donner deux solutions, dont l'une est exactement la même que celle
de Imod par contre la deuxième est différente ,et toujours la version de Littlefox
elle aussi différente.
Comme le dit carpediem il va bien falloir trancher.

Posté par
dpi
re : Géométriquement Magique 13-05-19 à 14:33

Pour info ,
Comme j'ai fait un vérificateur par surfaces,je peux dire que la version de alb12 est bonne
par contre celle de imod  donne  pour aire  en haut  à gauche   7.954
la bonne cote serait donc  1.88.... et non 1.858... sauf erreur

Posté par
alb12
re : Géométriquement Magique 13-05-19 à 14:56

pour mes 2 quadruplets les 9 aires sont (en enroulant dans le sens trigo):
5.99999999863,11.000000002,9.99999999937,4.99999999867,12.000000002,6.999999998,8.00000000005,13.0000000013,9.00000000001
et
6.00000000121,10.9999999979,10.0000000008,5.00000000115,11.999999998,7.00000000208,7.99999999991,12.9999999989,8.99999999997

Posté par
dpi
re : Géométriquement Magique 13-05-19 à 15:43

>alb12
Je trouve comme  toi  avec tes cotes  (what else) ,on peut donc dire que Littlefox  s'est
approché et que imod a du faire une erreur de recopie pour son 1.858.

A  noter que le trapèze central d'aire 9 voit ses cotés passer par les milieux  des obliques
(4.5 )

Posté par
carpediem
re : Géométriquement Magique 13-05-19 à 15:50

weierstrass : certes... effectivement mais je n'ai pas pensé en terme de carré magique mais en terme géométrique : longueur et aire ... et symétrie du carré ...

si on impose que les valeurs des aires forment un carré magique alors ce 9 est évident comme tu le prouves ... (ainsi que (la dispositions) les autres valeurs d'ailleurs (à symétrie près))

Posté par
Imod
re : Géométriquement Magique 13-05-19 à 16:45

J'ai en effet fait une erreur en recopiant les décimales .

Imod

Posté par
vham
re : Géométriquement Magique 15-05-19 à 17:16

Bonjour,

Xcas peut utiliser la formule de l'aire d'un quadrilatère de coin dont les cotés sont a et b
Aire s(a,b)=\dfrac{(a^2*(9*b-27)+b^2*(9*a-27)-81*a*b}{4*a*b-12*a-12*b-45}
et en donner b exact en fonction de a et de l'aire s :
b(a,s)=\dfrac{9*a^2-4*a*s-81*a+12*s+\sqrt{81*a^4+16*a^2*s^2-72*a^3*s-*a^3-96*a*s^2+432*a^2*s+3645*a^2+144*s^2-2268*a*s+4860*s}}{-18*a+54}

Posté par
vham
re : Géométriquement Magique 15-05-19 à 17:39

Bonjour,

Pas eu le temps d'aperçu , Poster parti trop vite. CORRECTIF :

b(a,s)=\dfrac{-9*a^2+4*a*s+81*a-12*s-\sqrt{81*a^4+16*a^2*s^2-72*a^3*s-486*a^3-96*a*s^2+432*a^2*s+3645*a^2+144*s^2-2268*a*s+4860*s}}{18*a-54}
On peut donc ajouter des décimales ...

Posté par
alb12
re : Géométriquement Magique 16-05-19 à 09:38

ce lien est peut etre interessant ?

Posté par
Imod
re : Géométriquement Magique 16-05-19 à 17:50

J'aime beaucoup la méthode de Donald Walter Trump expliquée ici :

Imod

Posté par
dpi
re : Géométriquement Magique 17-05-19 à 08:12

Effectivement,
Je suis content de voir que les points rouges correspondent à ma remarque du 13/05 à
15h50 (en me relisant j'ai écrit trapèze au lieu de quadrilatère ).

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