Bonsoir,
Peux tu donner l'expression de ce produit scalaire en fonction des et des ?

Je ne doute pas qu'en développant de cette façon je réussisse à retrouver le gradient que je cherche mais justement j'aimerais savoir le calculer sans développer l'expression

Je trouve A^T*x + A*x en bricolant mais je ne parviens pas à déceler une méthode claire

Et je me demande à quel point le gradient fonctionne comme les dérivées pour les fonctions de R->R

Par exemple si je peux dire que grad<Ax,x> = grad((x^T)Ax) = grad(x^T)Ax + x^T*grad(AX) = Idn*Ax+x^T*A = Ax+(x^T)*A = Ax+(A^T)x

Je pense avoir trouvé une méthode  :

je pars du fait que grad<u , v> = <u' , v> + <u , v'>  je dérive comme si j'étais dans R  et je me dis que <u.a> = a*u et <u, A> = A^T*u avec a un scalaire et A une matrice  même si ce sont des aberrations.

Donc pour le calcule de grad<Ax,x> on a :
<Ax,x> = <A,x>+<Ax,1> = A^T*x + Ax

vous en pensez quoi ? C'est une méthode qui fonctionne ?

Bonjour,
en utilisant la distributivité du produit scalaire on a :



Il est clair que

On on regarde alors


D'où la conclusion.
On peut remarquer que c'est en effet le même schéma de démonstration que celui de (uv)'=u'v+uv'.

Bonjour,
Pour t'y retrouver, tu peux donner un accroissement à :

et tu vois que l'accroissement au premier ordre est

ce qui montre que le gradient est  .

Ah oui si je comprend bien vous appliquez la formule de Tyalor-Young sur f(x) = <Ax,x>
f(a+h) = <A(a+h),a+h> = <Aa,a> + <Aa,h> + <Ah,a> + <Ah,h> =
on reconnaît f(a) = <Aa,a> et <Ah,h>=o(N(h))
On a alors dfa(h)= <Aa,h> + <Ah,a> = <Aa,h> + <A^Ta,h> = <Aa+A^Ta,h>
et donc  <grad(f(a)),h>  = dfa(h) = <Aa+A^T,h>  => grad(f(a)) = Aa+A^Ta
Merci beaucoup pour votre aide

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