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Groupe orthogonal comme groupe compact maximal
Bonsoir à tous,
je lisais un résultat sur Internet, à savoir :
"Tout sous-groupe compact de est conjugué à un sous-groupe de
."
en sachant que l'on travaille avec le groupe des isométries de R^n (qui agit donc sur R^n). Jusque là, tout va bien, j'ai compris la preuve. Seulement, il est aussi écrit :
"En particulier, est un sous-groupe compact maximal de
."
Là en revanche, je ne vois pas pourquoi. Je sais déjà qu'il est compact par mes cours de topologie l'année dernière, mais je n'arrive pas à montrer que si G est un sous-groupe compact de GLn(R) tel que On(R) 
G, alors G = On(R)... c'est pas faute d'avoir essayé. J'ai tenté l'approche classique en utilisant le résultat du document :
il existe une isométrie f telle que
mais même en manipulant les inclusions "par-ci, par-là", rien de concluant. Le résultat a l'air simple à montrer pourtant. Quelle est la bonne méthode pour aboutir ?
Merci.
Salut Foxdevil, merci pour ta réponse !
J'ai compris et en effet... c'était simple 
il est peut-être temps que j'aille me coucher, ça ne me réussit pas de passer ma journée sur des probas apparemment...
Passe une bonne soirée 
.
Je suis peut-être allé trop vite... si un sous-groupe U de G est conjugué à G, peut-on affirmer que U = G ? Dans le cas de groupes finis : oui ; mais dans le cadre infini, je ne sais pas... je peux juste dire que U et G sont isomorphes pour le moment, ce qui me semble insuffisant.
Juste dire que U et G sont isomorphes est en effet insuffisant, car il existe des groupes isomorphes à une de leurs parties propres, et d'autres conjugués à une de leurs parties propres.
Je suis allé un peu vite en effet...
Si U n'est pas O, considère l'image réciproque (par la conjugaison) de l'adhérence du sous-groupe engendré par U et a, avec , mais
. Que peux-tu dire?
Si U n'est pas O, considère l'image réciproque (par la conjugaison) de l'adhérence du sous-groupe engendré par U et a, avec
Yes, ça marche pas mal par l'absurde ! Je pense avoir trouvé, je reviendrai sur le forum un peu plus tard pour présenter ma rédaction.
Encore merci Foxdevil
Bonjour,
Seulement, il est aussi écrit :
"En particulier,
Là en revanche, je ne vois pas pourquoi.
Ca ne suit pas formellement de ce resultat, ou en tout cas pas de manière evidente.
Mais j'imagine (si la preuve que j'ai en tete est celle qui est utilisée) que ca suit immédiatement de la preuve.
Sinon, tu peux prouver le resultat de manière géométrique.
Si G est un sous groupe compact contenant strictement O(n), alors il y a un element f de g, qui envoie un vecteur x de norme 1 sur un vecteur de norme différente de 1, en multipliant par un element de O(n) (qui envoie x sur la droite Rf(x), y a deux choix), tu constuit donc un element de G, qui a une valeur propre de norme differente de 1, et donc dont les puissances tendent vers 0 ou l'infini, difficile d'etre compact dans ces conditions.
Bonjour,
Je viens de voir la réponse de Mokassin, mais je poste tout de même ceci :
Soit un sous-groupe compact de
contenant
.
Alors il existe une matrice symétrique définie positive telle que, pour tout
,
(c'est une façon d'exprimer le premier résultat que tu cites). Donc, pour tout
,
.
Je te laisse voir que ceci entraîne avec
, et donc que
.
Bonjour a tous ,
Si U n'est pas O, considère l'image réciproque (par la conjugaison) de l'adhérence du sous-groupe engendré par U et a, avec
Rebonjour,
merci mokassin et GBZM, je vais m'intéresser à vos idées ce week-end (j'ai d'ailleurs pu voir que tout ça a un lien avec la décomposition polaire de matrices, je crois d'ailleurs que c'est un peu ton message GBZM, non ? question naïve bie-sûr...). Oui Foxdevil, mais je t'assure qu'un raisonnement "par l'absurde" fonctionne bien, en réalité je crois qu'on peut le montrer directement sous réserve d'autres arguments (exhiber l'élément qui conjugue les sous-groupes) .
Bon en fait l'élément à exhiber est exactement la matrice symétrique dont GBZM parle, je ne sais juste pas lire apparemment... donc le raisonnement direct dont je parle est celui de GBZM 
.
Merci à tous en tout cas, c'est vraiment intéressant comme sujet.
La démonstration habituelle du fait que tout sous-groupe compact de est conjugué à un sous-groupe de
passe habituellement par la construction d'une matrice symétrique définie positive
telle que pour tout
de
,
.
Mais si on part juste de l'énoncé, à savoir qu'il existe un élément de
tel que
est orthogonal pour tout
de
, on récupère effectivement un
comme ci-dessus en prenant
. Pas vraiment besoin en fait de décomposition polaire.
Oui Foxdevil, mais je t'assure qu'un raisonnement "par l'absurde" fonctionne bien, en réalité je crois qu'on peut le montrer directement sous réserve d'autres arguments (exhiber l'élément qui conjugue les sous-groupes)
.
Une autre question, quand on parle de compacité de On dans Isom(R^n), c'est par rapport à la topologie produit de généralement ? (le document ne le précise pas, donc j'essaye de deviner quelle est la topologie "usuelle").
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