Bonjour

Es-tu le VRAI Jord? Si oui, qu'est-ce que je suis contente de te revoir... Sinon, sois le Bienvenu sur l

Bien entendu si les groupes sont finis, la réponse est OUI (Cantor Bernstein)

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... et tu es probablement le vrai, parce que à première vue je sèche! Je dirais plutôt non, mais je n'ai pas encore de contrexemple!

Camélia > Si les groupes sont finis effectivement c'est clair. Pour des groupes infinis, tu as intuité la bonne réponse, reste à exhiber le contre exemple. Il ne faut pas aller chercher trop loin, on peut trouver deux tels groupes assez facile à décrire, mais ne pas espérer un truc trop facile non plus.

Content de te retrouver aussi Camélia! Et j'espérais bien que tu sois une des premières à participer à ce topic

Si tu ne sais pas où chercher, tu peux lire le blanké suivant :

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Regarder du côté de copies de Q et de Z

Ravie Jord... Je ne lis pas encore le blanké... je ne vais pas gâcher le plaisir! (Pour l'instant je me rends utile, je fais des asymptotes de première, mais je vais y réfléchir!)

Cet exercice est tiré d'un bouquin que j'ai feuilleté hier à la B.U, en y trouve plein de questions de ce type. J'ai malheureusement oublié le nom, j'essayerai de le retrouver demain.

Du même genre :

Trouver deux groupes topologiques isomorphes en tant que groupes, homéomorphes en tant qu'espaces topologiques mais non isomorphes en tant que groupes topologiques.

... un à la fois! (là je mettrais bien un produit infini...)

Je te laisse réfléchir à tout ça, l'autre n'est pas bien difficile non plus, je vais pour ma part vaquer un peu sur le forum voir ce que j'ai raté depuis le temps !

Re re bienvenue sur l'

Un café et quelques asymptotes plus tard...

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et

Bingo Bien joué Camélia, heureux de retrouver de grands esprits comme le tient !

Bonjour

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Simple curiosité, que représente ce ? Rapport avec la somme directe d'espaces vectoriels ?

Salut !

[blank]ici représente la somme directe pour deux groupes, qui n'a pas vraiment de rapport avec la somme directe d'espaces vectoriels bien qu'on ait beaucoup d'amalgame dans les résultats.

La somme directe de groupes est le sous-ensembles des familles (xi) du produit directe qui ne contient qu'un nombre fini d'élément non nul.

Encore moi... toujours sans groupes topologiques... mais j'essaye encore!

Camélia > Pour t'aider à démarrer :

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En fait, la condition qu'on impose à un groupe munit d'une topologie pour en faire un groupe topologique est assez "forte" pour qu'il n'y ait aucune raison pour que cette structure ne dépende uniquement que de la structure topologique du groupe en tant qu'espace et de sa structure de groupe. Si bien qu'il n'y a pas à aller chercher très loin en réalité pour trouver un contre exemple. Par exemple, on peut sans prétention regarder les sous-groupes de R. Les discrets étant hors concours...

Salut Jord

Je crois y être arrivée sans avoir encore lu ton blank.

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Quelque chose du genre et topologie induite par celle de R. Il faut être sur que deux parties denses dénombrables sont homéomorphes et je le suis... presque!

Camélia >

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C'est exactement ceux que j'avais en tête. Pour les parties denses dénombrables homéomorphes, j'ai planché pas mal de temps dessus avant de me rendre compte que c'était finalement très simple, on énumère les deux ensembles en et , et on les réordonne de sorte que la correspondance (bijective) soit monotone, donc un homéomorphisme.

N'empêche que j'y ai passé du temps... J'ai commencé par chercher dans les groupes finis avec des topologies extraordinaires, mais il ne voulaient jamais être des groupes topologiques... A propos, sais-tu si un groupe topologique fini est forcément discret? On dirait bien, mais comme je cherchais autre chose, je ne m'en suis pas assurée.

Merci pour la question!

Ne peut-on pas le munir de la topologie grossière?

Cela dit je crois qu'on a quand même une bonne caractérisation, par homogénéité, un groupe topologique va être discret si et ssi le singleton contenant son neutre est un fermé.

Ah non... Un groupe topologique est séparé si et seulement si est fermé. (Dans R, 0 est bien fermé!)

Oups errat, si {e} est un ouvert !

Ah, ça, c'est à voir!

Sans y avoir trop réfléchi, je pense que c'est du au fait que G agit transitivement sur lui même.

J'y réfléchirai...

Bon en fait c'est assez clair, les translations de G sont des homéomorphismes ! Si V(e) est un voisinage de e dont l'intersection avec G est réduite à {e}, pour tout point g dans G, g.V(e) est un voisinage de g dont l'intersection avec G est réduite à {g}, donc g est isolé dans G.

Si tu as encore la force de chercher Camélia >

Si deux corps sont tels que leur groupes additifs soient isomorphes et leur groupes multiplicatif aussi, sont-ils forcément isomorphes?

Je n'ai pas encore de réponse pour celui-ci, qui me semble déjà beaucoup moins "simple" que les deux autres.

Oui, Jord, j'avais vu que si n'importe quel singleton d'un groupe topologique est ouvert, alors il est discret justement parce que les transllations sont des isomorphismes. Je ne sais toujours pas si un groupe topologique fini est forcément discret...

Quant aux corps, c'est sur si le corps est fini !!. Je réfléchirai...

Camélia, qu'est-ce que tu appelles ensemble discret? Pour moi c'est un ensemble munit de la topologie discrète, donc à partir de là, si on munit ton groupe fini de la topologie grossière (ce qui en fait bien un groupe topologique fini), ce ne sera pas un groupe discret !

Pour ma question sur les corps, j'ai fini par trouver un contre exemple, laborieusement.

Désolée, je dis n'importe quoi! Bien sur la grossière marche... (Enfin, je me demandais s'il y avait du non trivial... mais j'ai qu'à me demander correctement!)

Pour le corps ne me dis rien encore, c'est très roboratif ton retour... j'ai envie de réfléchir!

Bonjour.

Est-ce qu'on a un contre-exemple similaire pour les evt ?

PS : Et bon retour à Jord ! Je t'ai déjà croisé ici, sans me rendre compte que c'était toi.

> Arkhnor

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Au risque de te décevoir... et

Camélia>

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En fait, je pensais à des evt sur le corps des réels ou des complexes, les seuls avec lesquels j'ai travaillé de façon sérieuse, mais c'est déjà un contre-exemple intéressant.

> Arkhnor

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Je m'en doutais... En fait je ne crois pas que ce soit possible pour des espaces normés, mais les evt sont des fois très vicieux... J'attends que les petits rentrent à l'école, et j'y réfléchirai! Il y a toujours cette histoire de corps qui me turlupine aussi!

Camélia, une indication :

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Regarder du côté des corps de fractions

Je crois le tenir!

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J'ai eu beaucoup de mal à voir comment définir un morphisme multiplicatif... jusqu'à ce que "Bon sang, mais bien sur" anneaux factoriels!

Alors: je crois que Q(i) et Q(j) répondent à la question. C'est clair qu'ils sont isomorphes comme groupes abéliens et non isomorphes comme corps. Z[i] et Z[j] sont tous les deux principaux, avec une famille dénombrable d'éléments irréductibles. Tout élément admet une décomposition "unique" en éléments irréductibles et c'est vrai aussi dans Q(i)* (fraction irréductible, décomposition en haut et en bas...) Ensuite n'importe quelle bijection entre les irréductibles de l'un et ceux de l'autre permet la définition d'un iso multiplicatif.

Comme je suis honnête, il me reste une petit zone d'ombre : "unique" est unique à inversible près... mais je pense vraiment que si je rédigeais, je pourrais arranger ça!

Camélia >>

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Je comprends pas... Comment pourrais-t-on envoyer i sur j par exemple? Parce qu'alors i^4 serait envoyé sur j^4 et donc 1 sur j. Ou alors j ou i n'est pas irréductible mais j'en doute fortement.

>

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Tu mets le doigt sur la zone d'ombre que j'ai signalée moi-même. i et j étant inversibles chacun dans son anneau, ne sont pas irréductibles! Mon choix est donc mauvais...

Mais je suis sure qu'il y a des principaux et n'ayant que 1 et -1 comme inversibles...vite fait et ont l'air de convenir!

Camélia :

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J'avais en tête les corps de fraction rationnelles R(x) et R(x,y) !

> Jord

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Alors, là! Je ne peux pas dire que je vois les isomosphismes... tu les écris? (même des ébauches de preuve) J'avais cherché par là... et je n'ai pas cru que ça aboutissait!
Que penes-tu de ma deuxième proposition?

Camélia >

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A condition que tu voulais écrire Q[iV(7)] et Q[iV(11)] et non Z[...] alors oui, ça me va !

Concernant mon contre exemple, pour un isomorphisme en tant que groupe additif, on prend une base de chacun comme Q-ev de dimension la puissance du continue. Pour les groupes multiplicatifs, là je ne suis pas vraiment sûr de moi, mais il me semble qu'ils sont tous les deux le produit direct de R par le même groupe libre engendré par un nombre continu de générateur.

> Jord

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Oui, bien sur je voulais écrire Q et non Z. Tu n'y vas pas de main morte avec ta base sur Q... mais ça se tient... Pour le multiplicatif, je vais réfléchir, pour l'instant ça ne me saute pas aux yeux...

Modestement, je préfère mon exemple

... et si tu en as d'autres, ne te gêne pas!