salut

R² est ouvert

S est fermé ....

S est l'image réciproque du fermé [0, +oo[ par la fonction continue f(x, y) = y

...

S est une partie fermée de pour la topologie de .
Pour ma question, S est munie de la topologie induite, c'est à dire que est un voisinage ouvert de

E = {(x, y) avec 0=< y =< 1}  est la même chose que F = {(x, y} avec -pi/2 =< y =< pi/2}

l'application f(x, y) de ]-pi/2, pi/2[ dans R² définie par f(x, y) = (x, tan y) est un homéomorphisme ...

donc E et R² de même que E et S ne sont pas homéomorphe ("il manque deux points" !!!)


dans E l'ensemble {y = k} est compact ...
dans S l'ensemble {y = k} n'est pas compact ....

or l'image d'un compact par un homéomorphisme est compacte ....

Je n'ai pas compris trois choses :
- Quel est l'ensemble de départ de l'homéomorphisme ?
- Quels sont les deux points qui manquent pour que et soient homéomorphes ?
- pourquoi l'ensemble est-il compact dans ?

l'application f(x, y) de R x ]-pi/2, pi/2[ dans R2 définie par f(x, y) = (x, tan y) est un homéomorphisme ...


il manque les points (x, -pi/2) et (x, pi/2) ...


pardon c'est x = k bien sur ....

Je récapitule,
(0)
(1) est homéomorphe à

(2) est un homéomorphisme.

(3) est un compact de
n'est pas un compact de .

Je ne voie pas en quoi (2) contredit l'existence d'un homéomorphisme ou d'un homéomorphisme .
(3) implique de n'envoie pas sur , comment en déduire une contradiction ?

(2) :: parce [a, b] n'est pas homéomorphe à ]a, b[ .... (il manque deux points !!!!)

(3) :: voir dernière ligne de 13h

....

Dire que deux espaces topologiques ne sont pas homéomorphes parce que l'un est compact et pas l'autre, parce que l'un est connexe et pas l'autre, parce que l'un est de Baire et pas l'autre, parce que supposer l'existence d'un homéomorphisme aboutit à une contradiction sont pour moi des preuves.
Dire "il manque des points" à partir d'une application continue bien choisie, ne me parait pas satisfaisant.
A propos de et : aucun homéomorphisme ne les fait correspondre, je suis bien d'accord, et ensuite ? Pourquoi un homéomorphisme de E sur S devait les faire correspondre ?

un homéomorphisme de E sur S envoie un compact de E sur un compact de S !!!!

J'ai déjà dit que j'étais d'accord, qu'est-ce que tu en déduis.

considère f(x, y) = (x, arctan y) est un homéomorphisme de S dans R x [0, pi/2[

et [a, b[ n'est pas homéomorphe à [a, b]

...

Je sais que [a,b] n'est pas homéomorphe à [a,b[ parce que le premier est un espace compact et pas le deuxième. Je cherche un argument de ce niveau de rigueur pour prouver qu'il n'existe pas d'homéomorphisme de S sur .

Utiliser l'homéomorphisme particulier f et dire qu'il n'est pas prolongeable ne parait pas suffisant.

Dire qu'il manque des points (plus précisément une partie homéomorphe à ) ne me parait pas suffisant non plus. Après tout on peut enlever une demi-droite à , ce qu'on obtient est homéomorphe à .

Carpediem, si tu est capable de faire une preuve rigoureuse avec ce que tu as dis, je m'inclinerais, mais je crois que tu prends tout ça d'un peu trop haut.

On peut enlever un point à de façon que ce qui reste soit simplement connexe (par exemple, le point ). Pas pour .
La caractéristique d'Euler à support compact de est . Celle de est . Celle de est .

Supposons que  que A = { (x,y) ² | 0 y 1} et B = { (x,y) ² | 0 y } soient homéomorphes par f : AB

H = { (0,y) ² | 0 y 1} est un compact d'intérieur vide . K = f(H) , aussi .
B\K est connexe tandis que A\H  a 2 composantes connexes .

@lapointe : pourquoi est-il connexe ? Il y a bien des compacts homéomorphes à un segment dans (qui s'appelait jusqu'ici) dont le complémentairre a deux composantes connexes. Je ne vois pas du tout ton argument.

Un argument sans caractéristique d'Euler à support compact (qui est très facile à calculer, je peux expliquer si on le souhaite).
Soit la partie de l'espace formée des points tels que est simplement connexe. Alors est vide, a une composante connexe, deux composantes connexes.

Merci à [b]Robot[/b ]pour cet argument simple. J'avais pensé à un raisonnement qui commence comme celui de etniopal mais il fallait faire une discussion sur .