Salut,
Une urne contient 50 boules blanches numerotees de 1 a 50.
On tire au hasard 5 boules et on les peint en noir ensuite on les remet dans l`urne.
Ensuite on proccede de meme : on tire 2 boules au hasard on repeint en noir uniquement les boules blanches tirees et on les remet dans l`urne.
Et ainsi de suite jusqu`au nombre de tirages egal a k.
1. Combien faut-il de tirages en moyenne avec une probabilite de 99% pour que toutes les boules soient peintes en noir?
2. A supposer qu`apres un certain nombre de tirages il reste dans l`urne 10 boules ou moins (10 ou 9 ou 8 ou 7 ou 6) non peintes en noir quelle est la probabilite de tirer au moins une boule blanche?
Ce n`est pas un exercice.
Je devais le mettre sur enigmes, il m`a sorti un menu limite alors j`ai appuye sur lycee.
>Goudda
J'ai eu un moment de joie en me disant:
"ça y est enfin un volontaire pour poster des énigmes!"
Si tu parcours l'historique, tu verras l 'engouement des îliens
pour cette rubrique.
Donc il y a de l'espoir
On peut modéliser le problème par une chaîne de markov. Un état est repérenté par le nombre n de boules noires dans l'urne (de 0 à 50).
L'état de départ est n = 0. La probabilité de passer de n=0 à n=5 est 1 (premier tirage). Pour les autres états on a :
* P(n->n) (on tire 2 boules noires) = n/50*(n-1)/49
* P(n->n+1) (on tire une blanche et une noire) = n/50*(50-n)/49 + (50-n)/50*n/49
* P(n->n+2) (on tire deux blanches) = (50-n)/50*(49-n)/49
Toutes les autres autres transitions on une probabilité = 0. On peut vérifier que la somme des probabilités pour chaque état vaut bien 1.
1) Combien de tirage faut-il au minimum pour que la probabilité à priori (sinon il suffit de compter combien on a peint de boules ^^) d'avoir peint toutes les boules soit supérieure à 99% ?
Soit M la matrice de transition, on cherche le p minimum tel que M^p[0][50] soit > 0.99. On a M^206[0][50] = 0.989602 et M^207[0][50 ] = 0.990016 (aux erreurs d'arrondi près). Il faut donc 207 tirages.
2) Quelle est la probabilité de tirer au moins une boule blanche lorsqu'il y a 10 boules blanches ou moins dans l'urne.
La probabilité de tirer au moins une boule blanche est 1 moins la probabilité de tirer deux boules noires. P'(n) = 1-(n/50*(n-1)/49). On peut vérifier que P'(n) = P(n->n+1) + P(n->n+2).
Comme on a pas d'infos sur le nombre de tirage, on ne peut calculer la distribution des états (après 100 tirages on a 44% de chances d'avoir toutes les boules noires, 38% d'avoir 1 boule blanche, 14% d'en avoir 2, 3% d'en avoir 3, ...) On ne peut donc pas calculer la probabilité globale.
Supposons que cette distribution est uniforme (irréaliste voir plus haut), la probabilité est (P'(40) + P'(41) + ... + P'(50)) / 11 = 5060/(50*49*11) 18.76%
Je connais pas trop les fonctions génératrices, mais après lecture de wikipédia , je ne pense pas que ce soit utile ici.
On pourrait définir une fonction génératrice pour chaque transition possible (n->n, n->n+1, n->n+2 et n->n+5) mais je vois pas à quoi ça peut nous servir .
Wuuut?
Bonnes vacances.
Si tu nous reviens avec une solution utilisant les fonctions génératrices, je serai heureux de la découvrir .
Si tu lis l`anglais lis ce precieux document :
https://www.math.upenn.edu/~wilf/gfology2.pdf
Il parle des fonctions generatrices.
Bon, j'ai un peu (beaucoup) bossé pour intégrer une (petite) partie de la théorie sur les fonction génératrices et j'ai essayé de les utiliser dans notre cas.
Soit où est la probabilité d'avoir n boules noires après k tirages, et , on a :
En effet,
Pour ,
.
Donc . Or .
Donc .
On en déduit . Et on peut vérifier que .
Ça se complique , je laisse de côté le calcul de pour l'instant.
Je pensais pouvoir tirer des info de proba avec des relations du genre mais pour l'instant les calculs ne sont pas cohérents. Je ne sais pas où est l'erreur, un peu d'aide serait la bienvenue .
Bon ben apparemment la formule est correcte, j'étais juste fatigué . Ce que je veux dire par là c'est que l'espérance du nombre de tirage fait lorsqu'on sait qu'on a n boules est donnée par (avec (c'est sûrement mal écrit donc je précise ).
Le truc c'est qu'on a besoin que de valeurs particulières de et et pas de leur expression. Et ces valeurs on peut les calculer itérativement.
On a :
Après calcul :
0 | 1.000 | 0.000 | 0.000 |
1 | 0.000 | 0.000 | n ne peut jamais être 1 |
2 | 0.000 | 0.000 | n ne peut jamais être 2 |
3 | 0.000 | 0.000 | n ne peut jamais être 3 |
4 | 0.000 | 0.000 | n ne peut jamais être 4 |
5 | 1.008 | 1.017 | 1.008 |
6 | 0.187 | 0.379 | 2.021 |
7 | 0.870 | 1.804 | 2.074 |
8 | 0.367 | 1.129 | 3.076 |
9 | 0.765 | 2.477 | 3.240 |
10 | 0.507 | 2.124 | 4.191 |
11 | 0.709 | 3.205 | 4.519 |
12 | 0.604 | 3.254 | 5.391 |
13 | 0.698 | 4.109 | 5.887 |
14 | 0.670 | 4.484 | 6.690 |
15 | 0.717 | 5.245 | 7.319 |
16 | 0.723 | 5.850 | 8.095 |
17 | 0.753 | 6.635 | 8.816 |
18 | 0.772 | 7.416 | 9.605 |
19 | 0.799 | 8.305 | 10.395 |
20 | 0.825 | 9.256 | 11.224 |
21 | 0.853 | 10.306 | 12.076 |
22 | 0.884 | 11.454 | 12.960 |
23 | 0.917 | 12.719 | 13.877 |
24 | 0.952 | 14.114 | 14.829 |
25 | 0.990 | 15.659 | 15.818 |
26 | 1.031 | 17.374 | 16.850 |
27 | 1.076 | 19.287 | 17.926 |
28 | 1.125 | 21.430 | 19.050 |
29 | 1.178 | 23.839 | 20.229 |
30 | 1.237 | 26.562 | 21.466 |
31 | 1.302 | 29.656 | 22.769 |
32 | 1.375 | 33.194 | 24.144 |
33 | 1.456 | 37.266 | 25.599 |
34 | 1.547 | 41.987 | 27.146 |
35 | 1.650 | 47.508 | 28.796 |
36 | 1.768 | 54.026 | 30.564 |
37 | 1.904 | 61.806 | 32.467 |
38 | 2.062 | 71.210 | 34.529 |
39 | 2.250 | 82.745 | 36.779 |
40 | 2.475 | 97.144 | 39.254 |
41 | 2.750 | 115.498 | 42.004 |
42 | 3.093 | 139.505 | 45.097 |
43 | 3.535 | 171.933 | 48.633 |
44 | 4.125 | 217.601 | 52.757 |
45 | 4.949 | 285.618 | 57.707 |
46 | 6.187 | 395.300 | 63.893 |
47 | 8.249 | 595.116 | 72.143 |
48 | 12.374 | 1045.783 | 84.516 |
49 | 24.747 | 2704.004 | 109.264 |
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