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Hyperbole

Posté par
Ehrmantraut 05-06-24 à 05:30

Bonjour à tous,

Soit une hyperbole ayant pour équation:
$x²-y²=4 \\$

Et soit $d$ la droite de pente $m$ passant par (1,0)

En fonction de sa pente, il m'est demandé de déterminer le nombre de points d'intersection.

J'ai que:
$y=mx-m$

Je remplace dans l'équation de la parabole, j'obtiens:
$x²(1-m²)+2m²x-m²-4=0$

J'étudie le signe du discriminant:
$\Delta=-12m²+16$

J'arrive à la conclusion:
2 points si $m \in ]\dfrac{-2\sqrt{3}}{3};\dfrac{2\sqrt{3}}{3}[ \\$
1 points si $m \in \{\dfrac{-2\sqrt{3}}{3};\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\} \\$
0 point si $m \in ]-\infty;\dfrac{-2\sqrt{3}}{3}[\cup]\dfrac{2\sqrt{3}}{3};+\infty[$

Supposons que nous sommes dans le premier cas, si je veux trouver les coordonnées des points d'intersection:
$x=\dfrac{-m²\pm\sqrt{4-3m²}}{1-m²}$

Problème... Pas de solution si $m=\pm1$ au vu de la fraction.
Or, j'ai l'impression qu'il y en a une: $(2.5;1.5)$ et je le vois sur GeoGebra.

Pourquoi?
Les asymptotes de mon hyperbole sont: $y=x$ et $y=-x$

Merci à ceux/celles qui sauront éclairer ma lanterne!

Posté par re : Hyperbole 05-06-24 à 07:19

Bonjour

Ce n'est pas dans la fraction que tu remplaces m par 1 ou -1
C'est directement dans ton équation du second degré qui va devenir une équation du 1er degré donc tes formules ne s'appliquent plus

Posté par re : Hyperbole 05-06-24 à 17:01

Ah oui, les formules du discriminant sont valables uniquement si le coefficient de x² est différent de 0.

Si je comprends bien, quand $m=\pm1$ , il y a qu'un seul point d'intersection car la droite est parallèle à une des branches de l'hyperbole?

Posté par re : Hyperbole 05-06-24 à 17:57

en image

Hyperbole

Posté par re : Hyperbole 05-06-24 à 17:59

Parfait, merci malou!

Passe une bonne journée

Posté par re : Hyperbole 05-06-24 à 18:50

Bonjour, juste une question de vocabulaire

"car la droite est parallèle à une des branches asymptotes de l'hyperbole"
(une branche d'hyperbole c'est une courbe, l'une de deux "moitiés" de l'hyperbole)

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