Idéal d'un anneau commutatif

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Idéal d'un anneau commutatif
Posté par 
perroquet  21-06-08 à 15:28
Bonjour.

J'ai longtemps cherché avant de trouver la solution de cet exercice (proposé au concours commun polytechnique, en 2007):

Citation :

I est un idéal d'un anneau commutatif A.

J est-il un idéal de A ?

Mettrez-vous moins de temps que moi ?

Vous disposez de 48 heures   
 Posté par 
mikayaoure : Idéal d'un anneau commutatif  21-06-08 à 15:32
48 heures pour l'épreuve du concours commun polytechnique 2007 ? 

 Posté par 
mikayaoure : Idéal d'un anneau commutatif  21-06-08 à 15:33
salut perroquet 

 Posté par 
1 Schumi 1re : Idéal d'un anneau commutatif  22-06-08 à 08:43
Salut perroquet, 

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Je dirais que non. Ou alors j'ai vraiment rien compris.

On considère A=R[X,Y] et I=(X²,Y²).

X est clairement dans J, Y aussi. Mais X+Y lui non. En effet (X+Y)²=X²+2XY+Y². Mais 2XY n'est pas dans (X²,Y²) alors que X² et Y² y sont.

Je gèle ou je suis carrément congelé? 

 Posté par 
perroquetre : Idéal d'un anneau commutatif  22-06-08 à 14:59
Bonjour, Ayoub

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Tu as trouvé le même contre-exemple que moi  

Mais en beaucoup moins de temps ...  

 Posté par 
1 Schumi 1re : Idéal d'un anneau commutatif  22-06-08 à 16:41
Salut perroquet, 

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Citation :
Tu as trouvé le même contre-exemple que moi 

Tu m'en vois flatté. 

J'aimerais par contre savoir quelle était la solution attendue/ proposée par l'élève... R[X,Y] n'étant pas officiellement au programme. Ceci dit, l'X c'est l'X... 
 Posté par 
Fractalre : Idéal d'un anneau commutatif  22-06-08 à 16:53
Ayoub ->

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Citation :
Ceci dit, l'X c'est l'X... 

Concours commun polytechnique = CCP

Non, non ce n'est pas l'X ^^

Fractal 
 Posté par 
perroquetre : Idéal d'un anneau commutatif  22-06-08 à 21:45
Ayoub

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J'ai touvé l'exercice dans la RMS 118 numéro 2, c'est l'exercice  n° 931 (en fait, la provenance n'est pas indiquée, ce ne sont ni les ENS, ni l'X, ni les Mines, ni Centrale), dont l'énoncé complet est le suivant

Citation :

Soient A un anneau commutatif et I un idéal de A

a) L'ensemble  est-il un idéal de A?

b) L'ensemble  est-i un idéal de A?

Je suppose que l'examinateur attendait la réponse suivante: 

si  et  sont dans I, rien ne prouve que     est dans I. Donc l'ensemble décrit à la question a) n'est probablement pas un idéal de A. Je passe à la question suivante ...

Mais rien ne me permet de l'affirmer 

 Posté par 
1 Schumi 1re : Idéal d'un anneau commutatif  23-06-08 à 11:09
Fractal >>

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J'avais mal lu l'énoncé...  Je me disais aussi... 

perroquet >>

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Ok.  Mais la réponse à la 2 est clairement OUI. C'est la définition du radical d'un idéal.

 Posté par 
Fractalre : Idéal d'un anneau commutatif  23-06-08 à 13:26
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Pour le problème initial il y a une réponse sans passer par des polynômes à plusieurs indéterminées.

Considérer l'idéal de Z[X] engendré par 9 et X², 3 et X sont dans J mais pas 3 + X.

Fractal 
  Posté par 
1 Schumi 1re : Idéal d'un anneau commutatif  23-06-08 à 14:05
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Z[X] n'est pas plus au programme que R[X,Y] . L'idée de toute façon c'est de prendre un anneau non principal.

Un exemple vraiment au programme c'est par exemple dans R^R. On en trouve très facilement.