Identité trigonométrique et nombres complexes

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Identité trigonométrique et nombres complexes 
Posté par 
bouchaib  07-07-25 à 22:12
Bonsoir,

Pour appliquer les formules d'Euler, il nous est demandé de montrer l'identité trigonométrique suivante :

 .

J'ai essayé la démonstration par récurrence : pour l'initialisation cela marche pour n=0 et aussi pour n=1,

Dans l'étape Hérédité  : H.R (je suppose qu'il existe un entier n , p(n) est vraie et on doit montrer que p(n+1) est aussi vraie

Prenons n=m,

Je multiplie les deux membres de l'identité trigonométrique par cos x, après je n'ai pas pu jusqu'au bout, j'ai transformé le produit obtenu au second membre de l'identité en somme  cos a.  Cos b= 1/2 [ cos (a+b) + cos (a-b)]c'est après que je me bloque.

Merci de m'aider .

 Posté par 
Kohlere : Identité trigonométrique et nombres complexes   08-07-25 à 07:17
Bonjour,

Ta formule est fausse. Par exemple avec  et 
 Posté par 
candide2re : Identité trigonométrique et nombres complexes   08-07-25 à 09:41
Bonjour,

Vérifie si ce n'est pas plutôt :

 Posté par 
bouchaibre : Identité trigonométrique et nombres complexes   08-07-25 à 09:55
Bonjour.

Pardon !

 J'ai oublié l'exposant n sur le 2 de (1/2).

Au temps pour moi.
 Posté par 
Kohlere : Identité trigonométrique et nombres complexes   08-07-25 à 13:27
La récurrence n'est pas bien adaptée ici.

Tu peux écrire :

et développer avec la formule du binôme.
 Posté par 
loeiz35re : Identité trigonométrique et nombres complexes   08-07-25 à 13:29
Bonjour bouchaib,

Je suppose que tu as réussi en appliquant une formule d'Euler.

Ta méthode par récurrence  est plus compliquée. 

En appliquant la formule de Pascal relative aux coefficients binomiaux puis des changements d'indices bien choisis ça  me semble faisable. 
 Posté par 
bouchaibre : Identité trigonométrique et nombres complexes   08-07-25 à 19:03
Oui.

Merci. C'est rèussi avec les formules d'Euler.

Je vous en remercie beaucoup. 
 Posté par 
Kohlere : Identité trigonométrique et nombres complexes   08-07-25 à 21:32
De rien bouchaib

Note qu'au passage et sans aucun effort, tu as prouvé que pour tout  entier naturel et tout  réel :

  Posté par 
bouchaibre : Identité trigonométrique et nombres complexes   08-07-25 à 23:03
Oui partie imaginaire nulle et ce par identification.

Merci encore.