Niveau Master Maths

Indice d'un lacet simple

Posté par
KCJV 23-06-22 à 00:40

Bonjour, bonsoir tout le monde,

J'essaie de démontrer que si : [a, b] est un lacet simple (c.-à-d. qui ne s'auto-intersecte pas) de classe C¹ par morceaux, et que p est un point intérieur à , alors l'indice n(, p) du point p par rapport à vaut 1.

Intuitivement ça paraît clair : si on tourne autour du point p sans jamais « repasser deux fois au même endroit », alors on devrait avoir fait un tour autour de p dans un sens ou dans l'autre. Mais comment est-ce que ça se démontre ?

J'ai personnellement adopté l'approche suivante : en utilisant le théorème de relèvement, on peut écrire sous la forme $\gamma(t) = p + r(t) e^{i\theta (t)}$ pour tout t [a, b], où les fonctions r : [a, b] ₊* et : [a, b] sont continues C¹ par morceaux et vérifient r (a) = r (b), (b) = (a) + 2in(, p).

À partir de là, j'ai essayé de raisonner par l'absurde, en supposant que n(, p) \{ 1} et en essayant de trouver une contradiction avec l'injectivité de |_{[a, b[}, mais sans succès... Est-ce que quelqu'un aurait une idée pour conclure à partir de là ?

Merci d'avance !

Posté par re : Indice d'un lacet simple 23-06-22 à 22:50

Salut
L'analyse complexe ça date, mais il y a un joli théorème (Camille Jordan) qui dit qu'un lacet simple coupe le plan en deux composantes connexes : l'extérieur et l'intérieur. On sait aussi, je crois, que l'indice d'un point par rapport à un lacet est constant sur toute composante connexe de l'ensemble Plan \ Lacet. C'est peut être des éléments pour essayer de composer une preuve basée sur l'intuition

Posté par re : Indice d'un lacet simple 23-06-22 à 23:36

Bonsoir,
Oui effectivement, on peut déjà en déduire que l'indice du lacet prend une seule valeur sur tout l'intérieur de . Reste à voir comment trouver ladite valeur...

Il me semble par ailleurs que l'intérieur d'un lacet simple est même simplement connexe, donc peut-être qu'on pourrait essayer de faire quelque chose avec le théorème de l'application conforme...
Merci pour la suggestion en tout cas !