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Supposons que la relation (n/3)^n < n! soit vérifie pour une certaine valeur k de n dans N*, on a  alors :

(k/3)^k < k!
On multoplie les 2 cotés par [((k+1)/k)^(k+1) * (k/3)] qui est strictement positif.

[((k+1)/k)^(k+1) * (k/3)] * (k/3)^k < k! * [((k+1)/k)^(k+1) * (k/3)]

((k+1)/3)^(k+1) < (k+1)! * (1/3) * ((k+1)/k)^k

((k+1)/3)^(k+1) < (k+1)! * (1/3) * (1 + 1/k)^k

Or 2 < (1 + 1/k)^k < e -->

((k+1)/3)^(k+1) < (k+1)! * (e/3)

et comme e/3 < 1 -->

((k+1)/3)^(k+1) < (k+1)!

Donc si l'expression (n/3)^n < n! est vraie pour n = k, elle est encore vraie pour n = k+1 (1)
-----
Vérifions si (n/3)^n < n! est vraie pour n = 1.

(1/3)^1 <? 1!
(1/3) <? 1 --> OK

(n/3)^n < n! est vraie pour n = 1

Comme (n/3)^n < n! est vraie pour n = 1, par (1), (n/3)^n < n! est vraie pour n = 2
Comme (n/3)^n < n! est vraie pour n = 2, par (1), (n/3)^n < n! est vraie pour n = 3
...
Et ainsi de proche en proche :
(n/3)^n < n! est vraie pour tout n de N*

Rien relu, comme d'habitude et donc ...

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Une solution peu élégante mais qui devrait marcher, la récurrence:

-> L'inéquation est vraie au rang , car

-> Supposons l'inéquation vraie au rang :

On a alors

En multipliant par des deux côtés, on obtient:

                                          

Montrons maintenant que :

Cela revient à , d'où
d'où et donc

soit maintenant définie sur

f est dérivable sur , de dérivée

f' est donc positive sur , on a ainsi pour tout

Ainsi on a bien , et donc

On a par ailleurs   ,comme

et donc d'après , on obtient bien que et l'hérédité est montrée

En espérant ne pas m'être gouré, merci pour le défi

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En passant au logarithme qui est croissant, tout se ramène à montrer que
.
On a que pour négatif .
Or
donc

Je crois que ça marche aussi si on remplace par .

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f' n'est pas positive sur entier, mais elle l'est sur , cela suffit me semble-t-il...