Bonsoir

que signifie pour toi ?

il me semble que c'est AB ou -AB

ce qui s'écrit tout simplement


....

donc ici -(x₁²+...+x_n²)(y₁²+...+y_n²)x₁y₁+...+x_ny_n(x₁²+...+x_n²)(y₁²+...+y_n²)

la partie de droite de l'inégalité est supposé vraie donc il nous reste à montrer
-(x₁²+...+x_n²)(y₁²+...+y_n²)x₁y₁+...+x_ny_n ?

salut

supposons la première inégalité vraie pour tout n-uplet (x_i) et (y_i)

ce qui est vrai pour tout n-uplet (x_i) et (y_i) est donc vrai pour les n-uplet pour les lesquels pour tout i x_i et y_i ont mêmes signes

mézalor pour tout i est positif et donc est aussi positif ... et donc égal à sa valeur absolue

et donc la deuxième inégalité est vraie dans ces cas !

maintenant pour conclure il suffit d'utiliser l'inégalité triangulaire pour traiter tous les cas ...

l'inégalité triangulaire c'est : |x+y||x|+|y|
mais je n'ai pas bien compris ce que je dois faire et les cas que je dois distinguer pour conclure..

tu as

mais sont des réels qui vérifient l'inégalité 1/

et enfin on conclut par l'inégalité triangulaire ...

d'accord merci, donc si j'ai bien compris:
on part de x_iy_i(x₁²+...+x_n²)(y₁²+...+y_n²) (pour i allant de 1 à n)
alors i, x_iy_i0 donc x_iy_i0
ainsi x_iy_i=|x_iy_i|
si  x_i et y_i ont même signe.
or d'après l'inégalité triangulaire: | x_iy_i| x_i||y_i|
mais les X_i=|x_i| et Y_i=|y_i| vérifient notre premiere inégalité
donc  pour x_i et y_i de même signe: |x_iy_i|(x₁²+...+x_n²)(y₁²+...+y_n²) (pour i allant de 1 à n)

est-ce juste? je crois que maintenant il reste à traiter le cas  x_i et y_i de signe opposé

on aurait alors  x_i y_i0 donc x_iy_i=-|x_iy_i|
après je suis bloquée

on se moque de ce dernier cas car dans tous les cas

carpediem @ 24-05-2021 à 13:31

tu as

compris merci!

de rien