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inégalité

Posté par
leawz 23-05-21 à 20:35

bonsoir, pourriez vous m'aider sur cet exercice s'il vous plait?
Soit n ∈ *
On suppose l'inégalité suivante vraie :
x1,...,xn,y1,...,yn:x1y1+,...,+xnyn(x12+...+xn2)(y12+...+yn2)
montrer alors que:
x1,...,xn,y1,...,yn:|x1y1+,...,+xnyn|(x12+...+xn2)(y12+...+yn2)

merci d'avance!

Posté par
malou Webmasterre : inégalité 23-05-21 à 20:44

Bonsoir

que signifie pour toi |A|\le B ?

Posté par
leawzre : inégalité 23-05-21 à 20:54

il me semble que c'est AB ou -AB

Posté par
malou Webmasterre : inégalité 23-05-21 à 21:00

ce qui s'écrit tout simplement

-B \le A \le B
....

Posté par
leawzre : inégalité 23-05-21 à 21:13

donc ici -(x12+...+xn2)(y12+...+yn2)x1y1+...+xnyn(x12+...+xn2)(y12+...+yn2)

la partie de droite de l'inégalité est supposé vraie donc il nous reste à montrer
-(x12+...+xn2)(y12+...+yn2)x1y1+...+xnyn ?

Posté par
carpediemre : inégalité 24-05-21 à 11:08

salut

supposons la première inégalité vraie pour tout n-uplet (x_i) et (y_i)

ce qui est vrai pour tout n-uplet (x_i) et (y_i) est donc vrai pour les n-uplet pour les lesquels pour tout i x_i et y_i ont mêmes signes

mézalor pour tout i x_iy_i est positif et donc \sum_1^n x_iy_i est aussi positif ... et donc égal à sa valeur absolue

et donc la deuxième inégalité est vraie dans ces cas !

maintenant pour conclure il suffit d'utiliser l'inégalité triangulaire pour traiter tous les cas ...

Posté par
leawzre : inégalité 24-05-21 à 11:56

l'inégalité triangulaire c'est : |x+y||x|+|y|
mais je n'ai pas bien compris ce que je dois faire et les cas que je dois distinguer pour conclure..

Posté par
carpediemre : inégalité 24-05-21 à 13:31

tu as \sum_1^n x_iy_i \le \sum_1^n |x_i| |y_i|

mais X_i = |x_i| $ et $ Y_i = |y_i| sont des réels qui vérifient l'inégalité 1/

et enfin on conclut par l'inégalité triangulaire ...

Posté par
leawzre : inégalité 24-05-21 à 16:07

d'accord merci, donc si j'ai bien compris:
on part de xiyi(x12+...+xn2)(y12+...+yn2) (pour i allant de 1 à n)
alors i, xiyi0 donc xiyi0
ainsi xiyi=|xiyi|
si  xi et yi ont même signe.
or d'après l'inégalité triangulaire: | xiyi| xi||yi|
mais les Xi=|xi| et Yi=|yi| vérifient notre premiere inégalité
donc  pour xi et yi de même signe: |xiyi|(x12+...+xn2)(y12+...+yn2) (pour i allant de 1 à n)

est-ce juste? je crois que maintenant il reste à traiter le cas  xi et yi de signe opposé

Posté par
leawzre : inégalité 24-05-21 à 16:09

on aurait alors  xi yi0 donc xiyi=-|xiyi|
après je suis bloquée

Posté par
carpediemre : inégalité 24-05-21 à 18:04

on se moque de ce dernier cas car dans tous les cas

carpediem @ 24-05-2021 à 13:31

tu as \sum_1^n x_iy_i \le \sum_1^n |x_i| |y_i|
et l'important c'est de majorer par des x_i et y_i (en fait X_i et Y_i) pour lesquels ça marche ...

par définition de la valeur absolue tu as \sum - |x_i| |y_i| \le \sum x_i y_i \le \sum |x_i| |y_i|  et l'important c'est qu'on veut une majoration par le premier membre de l'inégalité 1

Posté par
leawzre : inégalité 24-05-21 à 19:25

compris merci!

Posté par
carpediemre : inégalité 24-05-21 à 20:00

de rien


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